Problema elementare di calcolo delle probabilità
Sto studiando calcolo delle probabilità usando il testo di Giorgio Dall'aglio. Mi trovo in difficoltà con un esercizio del capitolo 2 che mi lascia molto perplesso. Ho visto che ve ne sono poi altri sulla falsa riga ed è quindi per me molto importante capire il ragionamento da fare per riusciere a risolverlo. Il testo è il seguente:
"Un'urna contiene a palline azzurre e b palline bianche. Due giocatori A e B estraggono alternativamente una pallina, rimettendola nell'urna. Vince chi ottiene per primo una pallina con il colore del corrispondente al suo nome. Trovare le probabilità di vittoria di A e B."
Io a fronte di questo problema penso al fatto che non ci sia un probabilità assoluta di vittoria di uno o dell'altro ma che sia dipendente dall'estrazione per cui avevo pensato che A avesse $ (a/(a+b))^n $ con n dispari indicante la somma delle estrazioni di A e B. similmente vedevo B come $ (b/(a+b))^n $ con n pari che indica la somma delle estrazioni di A e B. Del resto il testo non dà alcuna indicazione su chi inizia a pescare, per ho supposto che inizi sempre A.
La soluzione è invece un numero ben preciso non dipendente dall'estrazione ed è il seguente:
$ Pa=(a*(a+b))/(a^2+b^2+ab) $ e $ Pb=b^2/(a^2+b^2+ab) $
Qualcuno sa spiegarmi che ragionamento dovrei fare per ottenere il risultato atteso?
"Un'urna contiene a palline azzurre e b palline bianche. Due giocatori A e B estraggono alternativamente una pallina, rimettendola nell'urna. Vince chi ottiene per primo una pallina con il colore del corrispondente al suo nome. Trovare le probabilità di vittoria di A e B."
Io a fronte di questo problema penso al fatto che non ci sia un probabilità assoluta di vittoria di uno o dell'altro ma che sia dipendente dall'estrazione per cui avevo pensato che A avesse $ (a/(a+b))^n $ con n dispari indicante la somma delle estrazioni di A e B. similmente vedevo B come $ (b/(a+b))^n $ con n pari che indica la somma delle estrazioni di A e B. Del resto il testo non dà alcuna indicazione su chi inizia a pescare, per ho supposto che inizi sempre A.
La soluzione è invece un numero ben preciso non dipendente dall'estrazione ed è il seguente:
$ Pa=(a*(a+b))/(a^2+b^2+ab) $ e $ Pb=b^2/(a^2+b^2+ab) $
Qualcuno sa spiegarmi che ragionamento dovrei fare per ottenere il risultato atteso?
Risposte
La probabilità che hai calcolato tu come $(a/(a+b))^n$ corrisponde alla probabilità che A estragga una pallina azzurra alla prima estrazione, alla seconda estrazione, fino alla n-ma estrazione...senza tenere in considerazione B
Io imposterei il problema in questo modo:
Indichiamo con $P_a (n)$ la probabilità che A vinca alla n-ma estrazione..questo significa che A deve estrarre tutte palline bianche e B tutte palline azzurre fino all'ultima estrazione dove A estrae una pallina azzurra, iniziamo a trovare l'espressione per tale probabilità dai casi più semplici:
- A vince alla sua prima estrazione $P_a (1)=a/{a+b}$
- A vince alla sua seconda estrazione $P_a (2)=b/{a+b}\cdot a/{a+b}\cdot a/{a+b}=b/{a+b}\cdot (a/{a+b})^2$
(la prima frazione indica la probabilità che A perde al primo tentativo, la seconda che B perde al suo primo
tentativo, la terza che A vince al suo secondo tentativo..se B avesse estratto una pallina bianca avrebbe vinto
comportando la fine del gioco)
- A vince alla sua terza estrazione $P_a (3)=b/{a+b}\cdot a/{a+b}\cdot b/{a+b}\cdot a/{a+b}\cdot a/{a+b}=(b/{a+b})^2\cdot (a/{a+b})^3$
e così via....
Abbiamo capito che $P_a (n)=(b/{a+b})^{n-1}\cdot (a/{a+b})^n=(b/{a+b})^{n-1}\cdot (a/{a+b})^{n-1}\cdot (a/{a+b})$
cioè $P_a (n)=({ab}/(a+b)^2)^{n-1}\cdot (a/{a+b})$.
Adesso viene la parte più importante... se A vince vuol dire che ha vinto o al suo primo tentativo, o al suo secondo tentativo, o al terzo, ecc quindi la probabilità che A vinca è data dalla somma delle precedenti probabilità allora, detta $P_A$ la probabilità di vincita di A si ha:
$P_A=\sum_{n=1}^{\infty}[({ab}/(a+b)^2)^{n-1}\cdot (a/{a+b})]=\sum_{n=1}^{\infty}[({ab}/(a+b)^2)^{n-1}]\cdot (a/{a+b})$
la serie considerata è una serie geometrica di ragione ${ab}/(a+b)^2$ che è minore di 1, quindi la serie converge con somma $\frac{1}{1-[{ab}/(a+b)^2]}=\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+ab}$ quindi
$P_A=\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+ab}\cdot(a/{a+b})=\frac{a(a+b)}{a^2+b^2+ab}$.
Lo stesso tipo di ragionamento si fa per B.
Io imposterei il problema in questo modo:
Indichiamo con $P_a (n)$ la probabilità che A vinca alla n-ma estrazione..questo significa che A deve estrarre tutte palline bianche e B tutte palline azzurre fino all'ultima estrazione dove A estrae una pallina azzurra, iniziamo a trovare l'espressione per tale probabilità dai casi più semplici:
- A vince alla sua prima estrazione $P_a (1)=a/{a+b}$
- A vince alla sua seconda estrazione $P_a (2)=b/{a+b}\cdot a/{a+b}\cdot a/{a+b}=b/{a+b}\cdot (a/{a+b})^2$
(la prima frazione indica la probabilità che A perde al primo tentativo, la seconda che B perde al suo primo
tentativo, la terza che A vince al suo secondo tentativo..se B avesse estratto una pallina bianca avrebbe vinto
comportando la fine del gioco)
- A vince alla sua terza estrazione $P_a (3)=b/{a+b}\cdot a/{a+b}\cdot b/{a+b}\cdot a/{a+b}\cdot a/{a+b}=(b/{a+b})^2\cdot (a/{a+b})^3$
e così via....
Abbiamo capito che $P_a (n)=(b/{a+b})^{n-1}\cdot (a/{a+b})^n=(b/{a+b})^{n-1}\cdot (a/{a+b})^{n-1}\cdot (a/{a+b})$
cioè $P_a (n)=({ab}/(a+b)^2)^{n-1}\cdot (a/{a+b})$.
Adesso viene la parte più importante... se A vince vuol dire che ha vinto o al suo primo tentativo, o al suo secondo tentativo, o al terzo, ecc quindi la probabilità che A vinca è data dalla somma delle precedenti probabilità allora, detta $P_A$ la probabilità di vincita di A si ha:
$P_A=\sum_{n=1}^{\infty}[({ab}/(a+b)^2)^{n-1}\cdot (a/{a+b})]=\sum_{n=1}^{\infty}[({ab}/(a+b)^2)^{n-1}]\cdot (a/{a+b})$
la serie considerata è una serie geometrica di ragione ${ab}/(a+b)^2$ che è minore di 1, quindi la serie converge con somma $\frac{1}{1-[{ab}/(a+b)^2]}=\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+ab}$ quindi
$P_A=\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+ab}\cdot(a/{a+b})=\frac{a(a+b)}{a^2+b^2+ab}$.
Lo stesso tipo di ragionamento si fa per B.
Grazie mille, l'errore è stato non considerare gli errori di A. infatti io avevo tenuto conto della vincita di A all'istante n e della perdita di b per n-1 volte, ma correttamente come lo spieghi la vittoria di A in n è dato da n-1 sconfitte di A e n-1 sconfitte di B e 1 vittoria di A.
Grazie mille
Grazie mille
Visto che sei stato gentile precedentemente volevo porti anche questa situazione. Un esercizio che riesco a risolvere per i primi due punti ma non per il terzo.
"9 persone salgono su un treno con tre vetture, ognuna sceglie a caso una vettura. Qual'è la probabilità che:
a) ci siano tre persone nel primo vagone
b) ci siano tre persone su ciascun vagone
c) ci siano tre persone in uno dei tre vagoni, due in un altro e quattro nel rimanente"
Io risolvo a in questo modo: $ P(a)=( (9), (3) ) *(1/3)^3*(2/3)^6 $ ed è il risultato corretto riportato dal testo
Per b ho risolto così e il risultato risulta corretto ma ho l'impressione che sia arrivato più per fortuna che non per un ragionamento corretto. Pertanto posto anche il ragionamento:
Ho ritenuto che dovessero esserci 3 persone nel primo dei tre valori, e la probabilità di a rispondeva a questo, essa doveva sommarsi alla probabilità che nei restanti due vagoni ci fosse un vagone con tre persone. L'ultimo vagone di conseguenza avrebbe avuto 3 persone. Per cui ho ottenuto $ P(b)=P(a)+( (6), (3) ) *(1/2)^3*(1/2)^3 =560/6561~=0.0853$ il testo pone come risulato questo: $ (9!)/(3!3!3!)1/3^9 $ $ (9!)/(3!3!3!)1/3^9~=0.0853 $
Il punto c invece proprio non mi risulta. Ho proceduto nel seguente modo:
Vorrei trovare l'evento A = 3 persone in uno dei tre vagoni. Per farlo mi servo di tre eventi:
"9 persone salgono su un treno con tre vetture, ognuna sceglie a caso una vettura. Qual'è la probabilità che:
a) ci siano tre persone nel primo vagone
b) ci siano tre persone su ciascun vagone
c) ci siano tre persone in uno dei tre vagoni, due in un altro e quattro nel rimanente"
Io risolvo a in questo modo: $ P(a)=( (9), (3) ) *(1/3)^3*(2/3)^6 $ ed è il risultato corretto riportato dal testo
Per b ho risolto così e il risultato risulta corretto ma ho l'impressione che sia arrivato più per fortuna che non per un ragionamento corretto. Pertanto posto anche il ragionamento:
Ho ritenuto che dovessero esserci 3 persone nel primo dei tre valori, e la probabilità di a rispondeva a questo, essa doveva sommarsi alla probabilità che nei restanti due vagoni ci fosse un vagone con tre persone. L'ultimo vagone di conseguenza avrebbe avuto 3 persone. Per cui ho ottenuto $ P(b)=P(a)+( (6), (3) ) *(1/2)^3*(1/2)^3 =560/6561~=0.0853$ il testo pone come risulato questo: $ (9!)/(3!3!3!)1/3^9 $ $ (9!)/(3!3!3!)1/3^9~=0.0853 $
Il punto c invece proprio non mi risulta. Ho proceduto nel seguente modo:
Vorrei trovare l'evento A = 3 persone in uno dei tre vagoni. Per farlo mi servo di tre eventi:
- [*:2ur3014d]A1 = 3 persone nel primo vagone;[/*:m:2ur3014d][*:2ur3014d]A2 = 3 persone nel secondo vagone;[/*:m:2ur3014d][*:2ur3014d]A3 = 3 persone nel terzo vagone[/*:m:2ur3014d][/list:u:2ur3014d]
Quindi $ A=A_1uu A_2uuA_3 $ A questo punto ho che $ P(A_1)=P(a)=P(A_2)=P(A_3) $ e posso trovare $ P(A)=P(A_1uu A_2uuA_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1nn A_2)-P(A_1nnA_3)-P(A_2nnA_3)+P(A_1nnA_2nnA_3) $ tenendo conto del fatto che $ P(A_1nn A_2)=P(A_1nnA_3)=P(A_2nnA_3)=P(A_1nnA_2nnA_3)=P(b) $ posso trovare $ P(A)=3*1792/6561-2*560/6561=4256/6561 $ similmente ho definito questi eventi B=2 persone in uno dei tre vagoni con
- [*:2ur3014d]B1 = 2 persone nel primo vagone;[/*:m:2ur3014d][*:2ur3014d]B2 = 2 persone nel secondo vagone;[/*:m:2ur3014d][*:2ur3014d]B3 = 2 persone nel terzo vagone[/*:m:2ur3014d][/list:u:2ur3014d] ho calcolato quindi $ P(B_1)=( (9), (2) ) (1/3)^2(2/3)^7=2^9/3^7=P(B_2)=P(B_3) $ . A questo calcolo $ P(B)=P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)-P(B_1nnB_2)-P(B_1nnB_3)-P(B_2nnB_3)+P(B_1nnB_2nnB_3) $ essendoci 9 persone $ P(B_1nnB_2nnB_3)=0 $ per trovare invece $ P(B_1nnB_2)=P(B_1nnB_3)=P(B_2nnB_3) $ cerco l'evento "5 persone nel primo vagone e due nel secondo" le restanti 2 devono forzatamente essere nel terzo. Ottengo quindi $ P(B_1nnB_2)=((9),(5))(1/3)^5(2/3)^4*((4),(2))(1/2)^2(1/2)^2=28/729 $ A questo punto per conludere voglio trovare $ P(c)=P(B|A)=(P(AnnB))/(P(A)) $ considero che $ AnnB $ vuol dire 3 persone nel primo e due nel secondo, 3 nel primo e 2 nel terzo, 3 nel secondo e 2 nel primo e così via. Un totale di 6 eventi che hanno la stessa probabilità. L'unione di questi eventi ha intersezione vuota e pertanto vale la legge delle probabilità totali. Cerco quindi F=3 persone nel primo vagone e 2 nel secondo ossia $ P(F)=((9),(3))(1/3)^3(2/6)^6*((6),(2))(1/2)^2(1/2)^4=(9!)/(3!3!3!)1/(3^9) $. Concludo quindi con l'ultimo calcolo $ $ P(c)=P(B|A)=(P(AnnB))/(P(A)) = (9!)/(3!3!3!)1/(3^9)*6561/4256=(9!)/(3!3!3!)1/(3)*1/4256$ $ Come anticipato questo non è il risultato atteso che dovrebbe è invece: $ (9!)/(2!3!4!)(3!)/(3^9) $
Evidentemnte il mio ragionamento fa acqua da tutte le parti... Mi riesci ad aiutare?
Mettiamo per ipotesi 2 persone nel primo vagone, 3 nel secondo e 4 nel terzo.
Quante sono le coppie che si possono formare nel primo vagone? $(9*8)/2$ ovvero $(9!)/(7!*2!)$
Per ognuna di queste, quante terne posso avere nel secondo vagone? $(7*6*5)/(3*2)$ ovvero $(7!)/(4!*3!)$
Per ognuna di queste, quante quaterne posso avere nel terzo vagone? $1$
Non mi resta che moltiplicare per $3!$ e dividere per $3^9$
$(9!)/(7!*2!)*(7!)/(4!*3!)*3!*1/(3^9)$
Semplifico per $7!$ e mi viene esattamente quella del libro
$(9!)/(2!*4!*3!)*3!*1/(3^9)$
Quante sono le coppie che si possono formare nel primo vagone? $(9*8)/2$ ovvero $(9!)/(7!*2!)$
Per ognuna di queste, quante terne posso avere nel secondo vagone? $(7*6*5)/(3*2)$ ovvero $(7!)/(4!*3!)$
Per ognuna di queste, quante quaterne posso avere nel terzo vagone? $1$
Non mi resta che moltiplicare per $3!$ e dividere per $3^9$
$(9!)/(7!*2!)*(7!)/(4!*3!)*3!*1/(3^9)$
Semplifico per $7!$ e mi viene esattamente quella del libro
$(9!)/(2!*4!*3!)*3!*1/(3^9)$
Sono proprio incompatibile con probabilità e statistica!
Oggi ho fatto un esercizio simile che ho finito poco fa e l'ho risolto con il tuo metodo, quindi avrei potuto farlo ieri per il precedente. Il problema più grosso è che a volte si imposta l'esercizio in un modo che sembra potenzialmente valido e che ti porta fuori strada.
Oggi ho fatto un esercizio simile che ho finito poco fa e l'ho risolto con il tuo metodo, quindi avrei potuto farlo ieri per il precedente. Il problema più grosso è che a volte si imposta l'esercizio in un modo che sembra potenzialmente valido e che ti porta fuori strada.
"barbiomalefico":
Come anticipato questo non è il risultato atteso che dovrebbe è invece: $ (9!)/(2!3!4!)(3!)/(3^9) $
Immagino che chi abbia scritto il testo, ha indicato la soluzione (scritta così) per evidenziare il:
2! 3! 4! quali termini dei componenti dei 3 vagoni
ed il successivo 3! come disposizione dei vagoni [234] [243] [324] [342] [423] [432]
Per una maggiore chiarezza ti allego una screen con le varie combinazioni, ed il relativo file excel.
Le colonne A, B, C rappresentano il numero di componenti in ogni singolo vagone,
la D rappresenta la prima parte della formula (il prodotto dei fattoriali)
la E può essere 6 nel caso di 3 numeri diversi (esempio 2,3,4). Oppure 3 nel caso di due numeri uguali ed il terzo diverso (Esempio [117] [171] [711]). Oppure 1 nel solo caso di 3 numeri uguali [333].
L'ultima colonna F è il prodotto di D e E. Il totale della F è ovviamente 19.683 ($3^9$)
File excel: http://dfiles.eu/files/1oaialj49
Grazie mille. Ieri ho sostenuto l'esame e l'ho passato anche grazie al vostro aiuto.
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