Problema elementare...
Salve, vi posto il seguente problema di probabilità: la probabilità che due persone abbiano i pantaloni dello stesso colore è $p$. Qual è la probabilità che tre persone abbiano lo stesso colore dei pantaloni?
A me sembra evidente che sia $p^2$.
Vi sembra corretto?
A me sembra evidente che sia $p^2$.
Vi sembra corretto?
Risposte
Corretto. (E anche carino il giochino.)
Sono andato in paranoia con questo problema che sembra elementare.
Ieri per far presto avevo assunto che i colori fossero equiprobabili. Facciamo direttamente il caso generale. Supponiamo che i colori siano $n$. La probabilità che due persone abbiano lo stesso colore di pantaloni è: $n/(n^2)=1/n$; quindi $p=1/n$.
La probabilità che tre persone abbiano lo stesso colore di pantaloni è: $n/(n^3)=1/(n^2)$, e quindi $p^2$.
Se i colori non sono equiprobabili le cose si complicano e io non riesco più a risolvere il problema.
Supponiamo che i colori siano due, e siano indossati con probabilità $q$ e $1-q$.
Con 2 persone, la probabilità che indossino lo stesso colore e’: $q^2 + (1-q)^2= 1 - 2q(1-q)=p$, quindi $q(1-q)=(1-p)/2$.
Con 3 persone, la probabilità che indossino lo stesso colore e’: $q^3 + (1-q)^3= 1 - 3q(1-q)= 1 - 3(1-p)/2=3p/2-1/2$.
A me sembra lineare eppure qualcosa non va: se $p<1/3$, infatti, quella probabilità sembra essere minore di zero, che e’ certamente sbagliato (in quanto $q^3 + (1-q)^3>0$ sempre per $q$ tra 0 e 1).
Cosa c’e’ che non va?
Se i colori invece sono tre e non sono equiprobabili, credo sia impossibile risolverlo: le dimensioni del problema sembrano essere due e il dato solo uno ($p$).
Che ne dite?
Ieri per far presto avevo assunto che i colori fossero equiprobabili. Facciamo direttamente il caso generale. Supponiamo che i colori siano $n$. La probabilità che due persone abbiano lo stesso colore di pantaloni è: $n/(n^2)=1/n$; quindi $p=1/n$.
La probabilità che tre persone abbiano lo stesso colore di pantaloni è: $n/(n^3)=1/(n^2)$, e quindi $p^2$.
Se i colori non sono equiprobabili le cose si complicano e io non riesco più a risolvere il problema.
Supponiamo che i colori siano due, e siano indossati con probabilità $q$ e $1-q$.
Con 2 persone, la probabilità che indossino lo stesso colore e’: $q^2 + (1-q)^2= 1 - 2q(1-q)=p$, quindi $q(1-q)=(1-p)/2$.
Con 3 persone, la probabilità che indossino lo stesso colore e’: $q^3 + (1-q)^3= 1 - 3q(1-q)= 1 - 3(1-p)/2=3p/2-1/2$.
A me sembra lineare eppure qualcosa non va: se $p<1/3$, infatti, quella probabilità sembra essere minore di zero, che e’ certamente sbagliato (in quanto $q^3 + (1-q)^3>0$ sempre per $q$ tra 0 e 1).
Cosa c’e’ che non va?
Se i colori invece sono tre e non sono equiprobabili, credo sia impossibile risolverlo: le dimensioni del problema sembrano essere due e il dato solo uno ($p$).
Che ne dite?
La difficoltà molte volte in probabilità è contestualizzare il problema, tu hai dato una risposta in un caso specifico ma il problema, secondo me, dovrebbe essere visto nella seguente ottica: sia $p$ la probabilità che due persone abbiamo una stessa "caratteristica" quale è la probabilità che tre persone presentino tale stessa caratteristica?
Il colore dei pantaloni è solo un espediente per formulare il problema.
Il colore dei pantaloni è solo un espediente per formulare il problema.
Andrea ma non cambia un po' il senso della domanda? Tu dici "tale stessa caratteristica". Ma la probabilita' che tre persone abbiano "tale stessa caratteristica" e' un evento contenuto in quello a cui mi sembra facesse riferimento il problema no? Supponi che la "caratteristica" e': "colore dei pantaloni = bianco". Come la metti tu, la domanda e': qual'e' la probabilita' che tre persone abbiano i pantaloni bianchi (conoscendo quale e' la probabilita' che due persone abbiano i pantaloni bianchi). Com'era formulato, invece, a me faceva pensare pantaloni dello stesso colore, non necessariamente tutti bianchi. La domanda infatti era:
"Qual è la probabilità che tre persone abbiano lo stesso colore dei pantaloni?" e non "quello stesso colore" dei pantaloni. O no?
"Qual è la probabilità che tre persone abbiano lo stesso colore dei pantaloni?" e non "quello stesso colore" dei pantaloni. O no?
Artemisia se la formulazione corretta e' quella di Andrea, la soluzione allora e' $p^(3/2)$
Non capisco come ti faccia a venire la soluzione che hai scritto per ultima.
Nel post precedente intendevo solamente che tu calcolavi la soluzione in un caso speciale, cioè considerando che ci siano $n$ colori ecc...
La mia era solo una considerazione semantica, cioè se $p$ individua la probabilità che due persone abbiano lo stesso colore di pantaloni (come la vedo io che appartengano ad una stessa "classe di equivalenza", passatemi il termine) la probabilità complementare comprende un ampio spettro di alternative che vengono meno se ci si restringe al caso da te considerato.
Apparte tale questione sulla visione del problema la soluzione non cambia.
Nel post precedente intendevo solamente che tu calcolavi la soluzione in un caso speciale, cioè considerando che ci siano $n$ colori ecc...
La mia era solo una considerazione semantica, cioè se $p$ individua la probabilità che due persone abbiano lo stesso colore di pantaloni (come la vedo io che appartengano ad una stessa "classe di equivalenza", passatemi il termine) la probabilità complementare comprende un ampio spettro di alternative che vengono meno se ci si restringe al caso da te considerato.
Apparte tale questione sulla visione del problema la soluzione non cambia.
mi sono divertita anch'io a fare delle ipotesi ed un bel po' di "conti" (in formule...).
ho pensato che la soluzione del problema potesse dipendere, in via del tutto teorica, dal numero $n$ delle persone e dal numero $c$ dei colori:
l'evento A: "esistono almeno due persone con i pantaloni dello stesso colore" è contrario all'evento D: "tutte le persone hanno pantaloni di colore diverso"
se $P(A)=p$, allora $P(D)=1-p$.
nel caso che fosse $c=n$.
in funzione di c ed n,la probabilità dell'evento D è uguale al rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un n-insieme a un c-insieme e il numero delle funzioni da un n-insieme a un c-insieme: dunque:
$1-p=((c)_n)/(c^n)$, dove $(c)_n=((c), (n))*n!$ indica il fattoriale decrescente.
ricavo $p$ in funzione di c ed n: $p=(c^n-(c)_n)/(c^n)$
per ricavare la probabilità x dell'evento B, dobbiamo pensare alle funzioni che fanno corrispondere tre persone qualsiasi ad uno stesso colore qualsiasi e le rimanenti persone ciascuna ad un generico colore. per cui:
$x=(((n), (3))*c*c^(n-3))/(c^n)$
dunque $x=[(c^(n-2)*n*(n-1)*(n-2))/(6*(c^n-c*(c-1)*...*(c-n+1)))]*p$
nel caso particolare di $c=n$, $1-p=(n!)/(n^n)$, $x=[((n-1)*(n-2)*n^(n-1))/(n^n-n!)]*p$
tutto questo sempre con ipotesi standard e molto ristrette...
che ne pensate? ciao.
ho pensato che la soluzione del problema potesse dipendere, in via del tutto teorica, dal numero $n$ delle persone e dal numero $c$ dei colori:
l'evento A: "esistono almeno due persone con i pantaloni dello stesso colore" è contrario all'evento D: "tutte le persone hanno pantaloni di colore diverso"
se $P(A)=p$, allora $P(D)=1-p$.
nel caso che fosse $c
in funzione di c ed n,la probabilità dell'evento D è uguale al rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un n-insieme a un c-insieme e il numero delle funzioni da un n-insieme a un c-insieme: dunque:
$1-p=((c)_n)/(c^n)$, dove $(c)_n=((c), (n))*n!$ indica il fattoriale decrescente.
ricavo $p$ in funzione di c ed n: $p=(c^n-(c)_n)/(c^n)$
per ricavare la probabilità x dell'evento B, dobbiamo pensare alle funzioni che fanno corrispondere tre persone qualsiasi ad uno stesso colore qualsiasi e le rimanenti persone ciascuna ad un generico colore. per cui:
$x=(((n), (3))*c*c^(n-3))/(c^n)$
dunque $x=[(c^(n-2)*n*(n-1)*(n-2))/(6*(c^n-c*(c-1)*...*(c-n+1)))]*p$
nel caso particolare di $c=n$, $1-p=(n!)/(n^n)$, $x=[((n-1)*(n-2)*n^(n-1))/(n^n-n!)]*p$
tutto questo sempre con ipotesi standard e molto ristrette...
che ne pensate? ciao.
Allora mi sa che ho sbagliato..
Perchè io ho provato a usare lo schema ad albero: per quanto riguarda la prima persona ho messo due rami: il primo indicante la probabilità che abbia i pantaloni di un colore c, l'altro l'evento contrario. Ho chiamato la prima probabilità $a$. Ora da questo primo ramo partivano altri due rami per la seconda persona: il primo indicante la probabilità che abbia i pantaloni del colore c ( e quindi la probabilità $a$ )e il secondo l'evento contrario. Siccome la probabilità che due persone abbiano lo stesso colore dei pantaloni è $p$, allora $p=a*a$. Di qui ho ricavato che $a=sqrtp$. Procedendo nello schema ad albero anche per la terza persona ho visto che la probabilità $q$ che tre persone abbiano i pantaloni dello stesso colore è $q=a*a*a$ e quindi sostituendo $q=(sqrtp)^3=p^(3/2)$..sicuramente c'è qualcosa che non va..
Perchè io ho provato a usare lo schema ad albero: per quanto riguarda la prima persona ho messo due rami: il primo indicante la probabilità che abbia i pantaloni di un colore c, l'altro l'evento contrario. Ho chiamato la prima probabilità $a$. Ora da questo primo ramo partivano altri due rami per la seconda persona: il primo indicante la probabilità che abbia i pantaloni del colore c ( e quindi la probabilità $a$ )e il secondo l'evento contrario. Siccome la probabilità che due persone abbiano lo stesso colore dei pantaloni è $p$, allora $p=a*a$. Di qui ho ricavato che $a=sqrtp$. Procedendo nello schema ad albero anche per la terza persona ho visto che la probabilità $q$ che tre persone abbiano i pantaloni dello stesso colore è $q=a*a*a$ e quindi sostituendo $q=(sqrtp)^3=p^(3/2)$..sicuramente c'è qualcosa che non va..
guarda che la probabilità di base (2 persone) è $p^2$ e non $p$... quindi in questa maniera la probabilità cercata viene $p^3$... potrebbe essere corretto, solo che il problema andrebbe interpretato in un altro senso: un colore preciso e non lo stesso colore... e poi non si fa riferimento ad altre persone... ciao.
Ma il testo non dice che la probabilità che due persone abbiano i pantaloni dello stesso colore è $p$?
hai ragione,...eppure non mi pare che sia stato modificato... io i calcoli li ho fatti considerando $p^2$. però visto che ci rientra solo marginalmente, non ci metto nulla a correggere... adesso correggo il mio post... ciao e grazie.
Figurati grazie a te!
Il testo mi sembra chiaro ragazzi...
Ma se vi fa perdere la bussola lo cambio. Supponiamo che la probabilità che due persone prendano lo stesso aereo (ergo stessa destinazione) sia $p$. Qual è la probabilità tre persone prendano lo stesso aereo (quindi vadano tutte e tre nello stesso posto)?
A me sembra evidente.
Siano $a$, $b$, $c$, le tre persone.
Se tre persone vanno nello stesso posto, allora $dest(a)=dest(b)$ con probabilità $p$ E $dest(a)=dest(c)$ con probabilità $p$. Viene da sé che $dest(b)=dest(c)$.
Ergo la probabilità cercata è $p^2$.
Ma se vi fa perdere la bussola lo cambio. Supponiamo che la probabilità che due persone prendano lo stesso aereo (ergo stessa destinazione) sia $p$. Qual è la probabilità tre persone prendano lo stesso aereo (quindi vadano tutte e tre nello stesso posto)?
A me sembra evidente.
Siano $a$, $b$, $c$, le tre persone.
Se tre persone vanno nello stesso posto, allora $dest(a)=dest(b)$ con probabilità $p$ E $dest(a)=dest(c)$ con probabilità $p$. Viene da sé che $dest(b)=dest(c)$.
Ergo la probabilità cercata è $p^2$.
"adaBTTLS":
guarda che la probabilità di base (2 persone) è $p^2$ e non $p$
Falso, la probabilità che due persone abbiano la stessa caratteristica (se così vi piace di più) è $p$.
Nella formulazione del problema di Andrea, $p^(3/2)$ viene semplicemente in questo modo. Tre individui, $A$, $B$ e $C$; se $A$ ha la caratteristica scriviamo $A=1$ evento la cui probabilita' indichiamo con $q$. La probabilita' che $A$ e $B$ hanno la caratteristica e' $q^2$, che sarebbe il nostro $p$. La probabilita' che $A=1$, $B=1$ e $C=1$ quindi e' $q^3$, ossia $p^(3/2)$.
Rispeto a quello che pensavo io, quindi, la differenza e' che nel mio caso ci interessa anche anche la probabilita' che $A=0$, $B=0$ e $C=0$.
Rispeto a quello che pensavo io, quindi, la differenza e' che nel mio caso ci interessa anche anche la probabilita' che $A=0$, $B=0$ e $C=0$.
Non mi ero accorto che c'erano tutti quei messaggi nel post. Mi sono reso conto solo ora che ho appena ripetuto quello gia' scritto da altri, scusate.
@ artemisia
avevo copiato male $p^2$, ma poi ho corretto (me l'aveva già fatto notare Frances_a). però la locuzione "viene da sé" non dovrebbe far parte del vocabolario del forum, almeno quando si sta dimostrando qualcosa.
mi mostri almeno l'indipendenza dal numero totale delle persone?
ciao.
avevo copiato male $p^2$, ma poi ho corretto (me l'aveva già fatto notare Frances_a). però la locuzione "viene da sé" non dovrebbe far parte del vocabolario del forum, almeno quando si sta dimostrando qualcosa.
mi mostri almeno l'indipendenza dal numero totale delle persone?
ciao.
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