Problema disuguaglianza di Chebyshev e distribuzione normale

[Dino Boll]

Salve ragazzi mi aiutate?
Problema 1
Sia x una variabile aleatoria con $E[x]=1,E[x^4]=34$ e $Var[x]=4$. Si valuti il limite inferiore della probabilità dell'evento $[1 Svolgimento
Credo si svolga con la disuguaglianza di Chebyshev:
$E[x^2]$ = 5 (mi dice che $[1Ho interpretato bene?????
$Var[x^2]= E[x^4] - [E[x2]]^2 = 34-25 = 9$
$Pr[|x^2-5|>=9K]<=1/k^2 $ con $9k = 4$ ......Sto procendedo bene oppure non ho capito niente???

Problema 2
Un tipo di condensatore ha una capacità che è una variabile aleatoria Y = 3600/x(misurata in microfarad) essendo X una gaussiana con media 10000 e scarto tipo 500. Se vengono estratti a caso 10 condensatori qual è la probabilità che almeno 3 dei condensatori estratti hanno capacità minore di 0,34286 microfarad?
Svolgimento2
$My = 3600/10000 = 0,36;σy = 3600/500 = 7,2. $
Standardizzo la variabile Y; $U = (y-My)/σy = (0,34286-0,36)/7.2 = 0,00238.$
$P[y<0,34282] = P[U<-0,00238] = 0,49187 $
Applico una binomiale con $P = 0,49187$ e $n = 10$ ........sto procedendo bene??????

[hamming_burst]

Ciao Benvenuto,

"Dino Boll":Salve ragazzi mi aiutate?
Problema 1
Sia x una variabile aleatoria con $E[x]=1,E[x^4]=34$ e $Var[x]=4$. Si valuti il limite inferiore della probabilità dell'evento $[1 Svolgimento
Credo si svolga con la disuguaglianza di Chebyshev:

mi pare una buona supposizione, si può risolvere in più modi con le varie formulazioni.

fissato che quello che dobbiamo trovare sia $P{|X^2 - \mu_2| < k\sigma_2} > 1- 1/k^2$ (*) si chiede un limite inferiore, questa versione di Chebyshev (tutte equivalenti) non ti nasconde alcune informazioni.

"Dino Boll":$E[x^2] = 5$

$E[X^2]$ la si può trovare anche per incognita.
$Var[X] = E[X^2] - E[X]^2 = E[X^2] - 1 = 4$
$E[X^2] = 5 = \mu_2$

"Dino Boll":
(mi dice che $[1Ho interpretato bene?????
$Var[x^2]= E[x^4] - [E[x^2]]^2 = 34-25 = 9 $
$Pr[|x^2-5|>=9K]<=1/k^2 $ con $9k = 4$ ......Sto procendedo bene oppure non ho capito niente???

Manca qualche passaggio e c'è un errore, ma l'idea è corretta.

Come suggerito utilizzamo (*)
Sai che $Var[X^2] = 9 = \sigma_2^2$ allora $\sigma_2 = \sqrt(sigma_2^2) = sqrt(9) = 3$
$P{|X^2 - \mu_2| < k\sigma_2} = P{|X^2 - 5|< k*3} = P{|X^2 - 5| < 4} > 1- 1/k^2$
$3k = 4$
$k=4/3$
$P{|X^2 - 5| < 4} > 1 - 1/(4/3)^2 = 0.4375$
equivalente partire dalla versione della disuguaglianza di Chebyshev:

$P{mu_2 - k\sigma_2 < X^2 < \mu_2 + k\sigma_2} = P{ 1 < X^2 < 9}$

$\mu_2 - k\sigma_2 = 1$
$5 - k3 =1$
...

"Dino Boll":
Problema 2
Un tipo di condensatore ha una capacità che è una variabile aleatoria Y = 3600/x(misurata in microfarad) essendo X una gaussiana con media 10000 e scarto tipo 500. Se vengono estratti a caso 10 condensatori qual è la probabilità che almeno 3 dei condensatori estratti hanno capacità minore di 0,34286 microfarad?
Svolgimento2
$My = 3600/10000 = 0,36;σy = 3600/500 = 7,2. $

su questo procedimento non posso pronunciarmi.
Non ho mai controllato che il valore atteso e la varianza di una gaussiana siano "chiusi" rispetto ad una divisione di quel tipo, tranne alcune questioni generali di esistenza di $X$ per render valida $Y$ come v.a. divisione, non saprei se un calcolo così diretto sia valido, devo verificare.

A parte questo i conti a me non tornano. Ti propongo una strada più semplice ed intuitiva, sapere che valore atteso e varianza abbia $Y$ non serve in questo ambito, basta usare le semplici proprietà della gaussiana e via.

"Dino Boll":$P[y<0,34282] = P[U<-0,00238] = 0,49187 $
Applico una binomiale con $P = 0,49187$ e $n = 10$ ........sto procedendo bene??????

ok sull'utilizzo della binomiale.

Sia \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\) allora \(X = 500Z + 10000 \sim \mathcal{N}(10000,500)\)

La probabilità di successo $p$ della binomiale equivale a trovare:
$p = P{Y < 0.34286} = P(3600/X < 0.34286) = P(X > 3600/0.34286)$

passando per la normale strandard:
$P(X > 3600/0.34286) = 1 - P(500Z + 10000 <= 3600/0.34286) = 1 - \Phi(0.9998) \approx 0.159$

(valore preciso $p=0.158698$)

salvo errori, a te finire.

[Dino Boll]

Grazie mille hamming_burst ! In effetti c'erano molte inesattezza ed errori riguardo la mia risoluzione dei 2 problemi . OT: Stasera posterò qualche altro esercizio su cui ho dei dubbi,confido in un tuo aiuto

[hamming_burst]

"Dino Boll":$My = 3600/10000 = 0,36;σy = 3600/500 = 7,2. $

Mi diresti dove hai trovato la definizione di validità di tale calcolo? Perchè hai fatto tale operazione, è stato il tuo docente ad utilizzarlo su di un esercizio oppure su di un libro? Se me lo dici mi eviti di cercare su qualche libro...

[Dino Boll]

L'ho visto su delle dispense fatte da un ragazzo quindi sono da prendere con le pinze. Ho trovato già altri errori e questo credo sia un altro errore. Vorrei un parere su questo esercizio che mi è capitato oggi allo scritto,credo di aver sbagliato!
Problema
Un individuo bendato taglia con una forbice un filo di lunghezza L. Calcolare la probabilita che il rapporto tra la lunghezza minore e quella maggiore sia minore di 1/3.
Soluzione
Ho nominato L1 la lunghezza minore e L2 quella maggiore. Ho messo a sistema L1/L2 = 1/3 e L1+L2 =L e ho trovato che L1 = L/4. Ho scritto Pr( L1/L2) <= 1/3 = (L/4)/L = 1 /4

[Dino Boll]

Mmm....nn mi convince. Se L = 9 cm e taglio nel primo terzo( esempio a 2,8cm) mi trovo che il rapporto tra 2,8 e 6,2 è maggiiore di 1/3. Secondo me devo dividere il filo in 4 tratti,e ho 2 tratti favorevoli(il primo e l'ultimo) su un totale di 4,quindi la probabilità è 1/2. Sbaglio????????

[Dino Boll]

Ciao Sergio,gradirei una tua opinione in merito! Grazie in anticipo

[Dino Boll]

Grazie!....come un stupido alla prova d'esame ho scritto L/4.UFF!!!