Problema dimostrazione integrazione funzioni semplici
Salve a tutti,sto studiando l'integrazione delle funzioni semplici e ho dei problemi a capire una relazione che compare nella dimostrazione,riguardante la linearità di tali integrali !
Nella dimotrazione c'è scritto che date due funzioni semplici,f e g, esse si possono rappresentare come combinazione lineare di funzioni caratteristiche delle stessa famiglia di insiemi :
date $ f= \sum_{i=1}^n {a_i*1_(A_i) } $ e $g= \sum_{j=1}^m {b_j*1_(B_j) }$ ,poichè $ A_i= \bigcup_(j=1)^{m} A_i \cap B_j$ ( ma perchè???) ne segue che
$ 1_( A_i)= \sum_{j=1}^m {1_(A_i \cap B_j)} $ ecc ecc..Non capisco quella relazione ,qualcuno me le saprebbe spiegare ?? Grazie
Nella dimotrazione c'è scritto che date due funzioni semplici,f e g, esse si possono rappresentare come combinazione lineare di funzioni caratteristiche delle stessa famiglia di insiemi :
date $ f= \sum_{i=1}^n {a_i*1_(A_i) } $ e $g= \sum_{j=1}^m {b_j*1_(B_j) }$ ,poichè $ A_i= \bigcup_(j=1)^{m} A_i \cap B_j$ ( ma perchè???) ne segue che
$ 1_( A_i)= \sum_{j=1}^m {1_(A_i \cap B_j)} $ ecc ecc..Non capisco quella relazione ,qualcuno me le saprebbe spiegare ?? Grazie
Risposte
Se ogni elemento di Ai appartiene almeno ad uno degli insiemi Bj quella proposizione è vera.
Quali sono le ipotesi?
Quali sono le ipotesi?
La proposizione dice che : date due funzioni semplici f e g definite su uno spazio di misura $ (\Omega,\mathcal{E},\mu) $ si ha che
$\int_{\Omega}f+g\ d\mu = \int_{\Omega}f\ d\mu +\int_{\Omega}g\ d\mu $
$\int_{\Omega}f+g\ d\mu = \int_{\Omega}f\ d\mu +\int_{\Omega}g\ d\mu $
Intendevo le ipotesi sugli insiemi Ai e Bj.
In ogni modo ho la sensazione che sia l'unione degli Ai che l'unione dei Bj siano un ricoprimento dello spazio di misura.
In questo caso quella proposizione è vera.
In ogni modo ho la sensazione che sia l'unione degli Ai che l'unione dei Bj siano un ricoprimento dello spazio di misura.
In questo caso quella proposizione è vera.
Ciao!
Le sto studiando anche io, ti dico come l'ho capita (se dico castronerie correggetemi...)
Essendo g una funzione semplice (ovvero che assume solo un numero finito di valori), gli $B_j$ sono una partizione, quindi $A_i$ è in effetti l'unione di se stesso intersecato con tutti i $B_j$
Le sto studiando anche io, ti dico come l'ho capita (se dico castronerie correggetemi...)
Essendo g una funzione semplice (ovvero che assume solo un numero finito di valori), gli $B_j$ sono una partizione, quindi $A_i$ è in effetti l'unione di se stesso intersecato con tutti i $B_j$
Vediamo se ho capito cosa intendi ! Essendo i $ B_j$ una partizione del mio spazio $ \Omega $ ho che $ \bigcup_(j=1)^n B_j = \Omega $ e lo stesso vale per gli $ A_i $...quindi quella relazione che non capisco mi dice che gli $ A_i $ si possono scrivere facendo l'unione su j,che è l'indice dei $ B_j$ che sono una partizione del mio spazio ,delle intersezioni tra gli $ A_i $ e i $B_j $,giusto ????
Esatto! Ma la teoria della misura per me è una materia nuova, quindi aspetterei una conferma più autorevole... Che poi a ben guardare era già stato detto da speculor... Gli $A_i$ ed i $B_i$ sono in effetti un ricoprimento di $Omega$.
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