Problema di statistica (semi-risolto)

[pasquale2016]

Un test a risposta multipla consiste di 100 quesiti; ogni domanda ha 3 possibili risposte di cui solo una è quella corretta. Uno studente risponde completamente a caso ad ogni singolo quesito.
1) Dire qual è la distribuzione del numero di risposte corrette
2) Calcolare media e varianza del numero delle risposte corrette
3)Specificare la distribuzione di $(Y_1,Y_2, Y_3)$, dove $Y_i$ è il numero di volte che lo studente fornisce la risposta i-sima, $i=1,2,3$
4) Calcolare $E[Y_i]$, var(Y_i), $cov(Y_i, Y_j)$, $corr (Y_i,Y_j)$, $i=1,2,3$

PRIMO PUNTO
Poichè la risposta al quesito può essere corretta o sbagliata, posso dire che:

$Z_i={(1, " i-sima risposta corretta"),(0," altrimenti"):}$
e dunque
$Z_i ~B(1, 0.33)$
Se pongo:

$X=\sum_{i=1}^(100) Z_i$

che rappresenta il numero di risposte corrette in tutti i 100 quesiti, posso dire che:
$X~(100,0.33)$

SECONDO PUNTO
Trattandosi di una v.a. Binomiale, avrò che:

$E[X]-=mu_(X)=np=100*0.33=33$
$var(X)-=sigma_(X)^2=npq=100*0.33*0.67~=22.11$

Corretto fino a qui?
Come procedo per la risoluzione del terzo quesito?

Grazie in anticipo

[Lo_zio_Tom]

3) è una multinomiale ed è la seguente: $P(X=x,Y=y,Z=z)=(100!)/(x!y!z!)(1/3)^x(1/3)^y(1/3)^z$ con $x+y+z=100$

4) A parte i primi due quesiti banali, per gli altri occorre calcolare $E(XY)=sumsum_(x+y<=100)xyp(x,y)$ dove $p(x,y)=(100!)/(3^100 x! y!(100-x-y)!)$

Con qualche considerazione sulle proprietà della covarianza ottieni facilmente $cov(X,Y)=-11,bar(11)$.

Ma vediamo come perché è interessante:

E' abbastanza intuitivo pensare che il coefficiente di correlazione lineare fra $X$ e $Y$, ovvero fra le due variabili che descrivono il numero di volte che si dà la risposta i-esima rimanga inalterato al variare di n. Di conseguenza

$rho=(Cov(X,Y))/(sigma_(x)sigma_(y))=(cov(X,Y))/(npq)$

Quindi diminuendo n al denominatore diminuirà proporzionalmente anche la covarianza. Per cui invece di prendere $n=100$ prendo $n=1$, trovo la covarianza e poi la moltiplico per 100 trovando la covarianza per $n=100$

Per $n=1$ la formula della covarianza si riduce alla seguente:

$E(XY)-E(X)E(Y)=0-1/3 1/3=-1/9$

per cui la covarianza per $n=100$ viene $-11.bar(11)$

non è un esercizio banale....dove lo hai trovato?

[pasquale2016]

Ecco perchè non capivo quale distribuzione fosse; la multinominale non è presente nel mio testo.. Se ho capito bene, però, deve essere una "generalizzazione" della binomiale
Grazie comunqe