Problema di Probabilità. Variabili Aleatorie
Dall'urna contenente 5 bianche e 14 nere si estraggono una per volta senza reinserimento tutte le palline dell'urna. sapendo che la terza vianca si è presentata alla sesta estrazione si calcoli:
a)dominio e funzione di probabilità della variabile aleatoria Y2 che fornisce la posizione della seconda bianca;
b)dominio e funzione di probabilità della variabile aleatoria Y5 che fornisce la posizione della quinta bianca;
c)dominio e funzione di probabilità congiunti del vettore aleatorio (Y2,Y5).
per i punti a e b avevo pensato di dividere in tre blocchi il problema, dalla prima alla quinta estrazione, in cui avrò 2bianche e 3 nere, la sesta estrazione in cui avrò pprobabilità di bianca= 5/19 e dalla settima alla diciannovesima estrazione, in cui avrò 2 bianche ed il resto nere.
a questo punto avrei applicato la variabile aleatoria ipergeometrica sui 3 blocchi. Ma non sono convinto perchè l'ipergeometrica è un contatore del numero di successi e non mi dice niente sul posizionamento.Sbaglio? Chi sa aiutarmi? =)
a)dominio e funzione di probabilità della variabile aleatoria Y2 che fornisce la posizione della seconda bianca;
b)dominio e funzione di probabilità della variabile aleatoria Y5 che fornisce la posizione della quinta bianca;
c)dominio e funzione di probabilità congiunti del vettore aleatorio (Y2,Y5).
per i punti a e b avevo pensato di dividere in tre blocchi il problema, dalla prima alla quinta estrazione, in cui avrò 2bianche e 3 nere, la sesta estrazione in cui avrò pprobabilità di bianca= 5/19 e dalla settima alla diciannovesima estrazione, in cui avrò 2 bianche ed il resto nere.
a questo punto avrei applicato la variabile aleatoria ipergeometrica sui 3 blocchi. Ma non sono convinto perchè l'ipergeometrica è un contatore del numero di successi e non mi dice niente sul posizionamento.Sbaglio? Chi sa aiutarmi? =)
Risposte
Ad esempio il punto a)
$"supp"(Y_2)={2,3,4,5}$, la seconda bianca può essere estratta dalla posizione 2 alla 5.
Poi dobbiamo calcolare una probabilità condizionata $P[Y_2=2|Y_3=6]=(P[Y_2=2\nnY_3=6])/(P[Y_3=6])$
$P[Y_3=6]=(((5),(2))((14),(3)))/(((5+14),(5))) 3/(3+11)$
dove il primo fattore è una ipergeometrica che calcola la probabilità di estrarre 2 bianche e 3 nere e tutto moltiplicato per la probabilità di estrarre una bianca da quelle che rimangono.
$P[Y_2=2\nnY_3=6])$ può essere pensato come la prob. di estrarre 2 bianche cioè $5/19 4/18$ moltiplicato per la prob di estrarre 3 nere da quelle che rimangono $14/17 13/16 12/15$ e quindi di estrarre una bianca da quelle che rimangono $3/14$
$(0,006707946) / (0,067079463) = 1/10$
Ciò era anche evidente se si scrivono esplicitamente le varie possibilità:
BBNNNB , terza bianca in posizione 6 e seconda bianca in posizione 2.
La dieci possibilità di avere la terza bianca in posizione 6 con 3 bianche e 3 nere sono
BBNNNB
BNBNNB
BNNBNB
BNNNBB
NBBNNB
NBNBNB
NBNNBB
NNBBNB
NNBNBB
NNNBBB
quindi $P[Y_2=2|Y_3=6]=1/10$
Analogamente le varie possibilità di trovare la seconda bianca in terza posizione sono 2:
BNBNNB
NBBNNB
rispetto alle 10 possibili, quindi quindi $P[Y_2=3|Y_3=6]=2/10$
Analogamente per la bianca in quarta posizione
BNNBNB
NBNBNB
NNBBNB
$P[Y_2=4|Y_3=6]=3/10$
Analogamente per la bianca in quinta posizione
BNNNBB
NBNNBB
NNBNBB
NNNBBB
$P[Y_2=5|Y_3=6]=4/10$
La somma di tutte le prob ovviamente da 1.
$"supp"(Y_2)={2,3,4,5}$, la seconda bianca può essere estratta dalla posizione 2 alla 5.
Poi dobbiamo calcolare una probabilità condizionata $P[Y_2=2|Y_3=6]=(P[Y_2=2\nnY_3=6])/(P[Y_3=6])$
$P[Y_3=6]=(((5),(2))((14),(3)))/(((5+14),(5))) 3/(3+11)$
dove il primo fattore è una ipergeometrica che calcola la probabilità di estrarre 2 bianche e 3 nere e tutto moltiplicato per la probabilità di estrarre una bianca da quelle che rimangono.
$P[Y_2=2\nnY_3=6])$ può essere pensato come la prob. di estrarre 2 bianche cioè $5/19 4/18$ moltiplicato per la prob di estrarre 3 nere da quelle che rimangono $14/17 13/16 12/15$ e quindi di estrarre una bianca da quelle che rimangono $3/14$
$(0,006707946) / (0,067079463) = 1/10$
Ciò era anche evidente se si scrivono esplicitamente le varie possibilità:
BBNNNB , terza bianca in posizione 6 e seconda bianca in posizione 2.
La dieci possibilità di avere la terza bianca in posizione 6 con 3 bianche e 3 nere sono
BBNNNB
BNBNNB
BNNBNB
BNNNBB
NBBNNB
NBNBNB
NBNNBB
NNBBNB
NNBNBB
NNNBBB
quindi $P[Y_2=2|Y_3=6]=1/10$
Analogamente le varie possibilità di trovare la seconda bianca in terza posizione sono 2:
BNBNNB
NBBNNB
rispetto alle 10 possibili, quindi quindi $P[Y_2=3|Y_3=6]=2/10$
Analogamente per la bianca in quarta posizione
BNNBNB
NBNBNB
NNBBNB
$P[Y_2=4|Y_3=6]=3/10$
Analogamente per la bianca in quinta posizione
BNNNBB
NBNNBB
NNBNBB
NNNBBB
$P[Y_2=5|Y_3=6]=4/10$
La somma di tutte le prob ovviamente da 1.
La ringrazio infinitamente, è stato illuminante!
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