Problema di probabilita' e legge forte dei grandi numeri?
Qualcuno mi riuscirebbe a dare qualche hint per il seguente problema?
"siano date $X_1 , X_2$ , . . . i.i.d. r.v con distribuzione continua.
Sia $E1 :=\Omega$ e $ \forall n ≥ 2$ $E_n := {X_n > X_m , \forall \ m < n}$.
Dimostrare che:
1. Gli eventi $E_i$ sono indipendenti e $ P(E_n)=1/n$
2. Detta $Y_k = 1_{E_k}$ mostrare che $ \sum_{k \geq 1} \frac{Y_k − 1/k}{ \log k} $ converge quasi certamente
3. Detta $N_n := Y_1 + . . . + Y_n$ e sfruttando il lemma di Kronecker si mostri che $\frac{N_n}{log n}$ converge a 1 quasi certamente
Sinore credo di avere la soluzione per il punto 1 (l'indipendenza mi pare abbastanza evidente, magari riscrivendo gli eventi come X_n > max X_m, m
qualche idea?
Alto mare ancora per il terzo punto, non ho la piu pallida idea di come e dove usare il lemma di kronecker, avendolo peraltro visto solamente applicato a successioni numeriche e non di variabili aleatorie.
Un grazie a tutti,
Tia
"siano date $X_1 , X_2$ , . . . i.i.d. r.v con distribuzione continua.
Sia $E1 :=\Omega$ e $ \forall n ≥ 2$ $E_n := {X_n > X_m , \forall \ m < n}$.
Dimostrare che:
1. Gli eventi $E_i$ sono indipendenti e $ P(E_n)=1/n$
2. Detta $Y_k = 1_{E_k}$ mostrare che $ \sum_{k \geq 1} \frac{Y_k − 1/k}{ \log k} $ converge quasi certamente
3. Detta $N_n := Y_1 + . . . + Y_n$ e sfruttando il lemma di Kronecker si mostri che $\frac{N_n}{log n}$ converge a 1 quasi certamente
Sinore credo di avere la soluzione per il punto 1 (l'indipendenza mi pare abbastanza evidente, magari riscrivendo gli eventi come X_n > max X_m, m
qualche idea?
Alto mare ancora per il terzo punto, non ho la piu pallida idea di come e dove usare il lemma di kronecker, avendolo peraltro visto solamente applicato a successioni numeriche e non di variabili aleatorie.
Un grazie a tutti,
Tia
Risposte
scusa qual'è lemma di kronecker?
per cosa sta SLLN? puoi pensare di usare LGN (rimanendo in single
)
per cosa sta SLLN? puoi pensare di usare LGN (rimanendo in single
)
Slln sta per legge forte dei grandi numeri, mentre il lemma di kronecker, nel caso di successioni numeriche e' questo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker's_lemma
utilizzabile anche per provare alcuni risultati in ambito probabilistico (vedi Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks) per esempio)
http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker's_lemma
utilizzabile anche per provare alcuni risultati in ambito probabilistico (vedi Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks) per esempio)
Be allora usa le martingale visto che $sum_k (Y_k-1/k)/(log k)$ è una martingala. ( sarebbe da dare una definizione per k=1 visto che viene 0/0).
Ok, che è una martingala ci siamo, ma non mi servono delle ipotesi in piu per usare un qualche risultato di convergenza (qualcosa tipo integrabilità uniforme)?
E per il punto 3 il discorso martingala non credo aiuti molto in ogni caso
E per il punto 3 il discorso martingala non credo aiuti molto in ogni caso
Si devi avere qualche ipotesi aggiuntiva.
Una sufficiente è che la martingala sia uniformly integrable che è implicato dal fatto che M sia bounded in Lp con p>1 ($su p_n E|M_n|^p<+ infty$). Vedi con p=2.
Per il terzo prova apensare quali possono essere le due successioni x ed b, nella notazione che hai linkato, in maniera da sfruttare il risultato del punto 2.
Una sufficiente è che la martingala sia uniformly integrable che è implicato dal fatto che M sia bounded in Lp con p>1 ($su p_n E|M_n|^p<+ infty$). Vedi con p=2.
Per il terzo prova apensare quali possono essere le due successioni x ed b, nella notazione che hai linkato, in maniera da sfruttare il risultato del punto 2.
con P=1 non regge perchè non ho garanzie di poter cambiare serie e integrale mentre con p=2 dovrebbe funzionare, no?
VAR( SUM ) = SUM (VAR ) usando l'indipendenza, Y_k -1/k sono bernoulli centrate di parametro 1/k, la varianza di ciascuna è 1/k (1-1/k), e mi trovo a sommare una cosa il cui andamento è maggiorato da 1/(klog^2k), no?
Ho quindi che la varianza della serie è finita.
$E(M_n^2) = VAR(M_n) + E(M_n)^2 \ \forall n$,
torna tutto a parte il come trattare il termine $E(M_n)^2$ che so essere nullo per ogni n ma non so come si comporti al limite.
Supposto di formalizzare il perchè quel termine sia finito al limite, mi ritrovo con una martingala in L2, unif. int, e sfrutto tout court il teorema di convergenza, no?
P.s. perdona la cafoneria di non avere nemmeno messo un grazie nei precedenti post, rimedio ora...Grazie mille
VAR( SUM ) = SUM (VAR ) usando l'indipendenza, Y_k -1/k sono bernoulli centrate di parametro 1/k, la varianza di ciascuna è 1/k (1-1/k), e mi trovo a sommare una cosa il cui andamento è maggiorato da 1/(klog^2k), no?
Ho quindi che la varianza della serie è finita.
$E(M_n^2) = VAR(M_n) + E(M_n)^2 \ \forall n$,
torna tutto a parte il come trattare il termine $E(M_n)^2$ che so essere nullo per ogni n ma non so come si comporti al limite.
Supposto di formalizzare il perchè quel termine sia finito al limite, mi ritrovo con una martingala in L2, unif. int, e sfrutto tout court il teorema di convergenza, no?
P.s. perdona la cafoneria di non avere nemmeno messo un grazie nei precedenti post, rimedio ora...Grazie mille
Si a grandi linee ci sei.
Chiamiamo $M_n=sum_{k=2}^n Z_k$ dove $Z_k=(Y_k-1/k)/log(k)$ il tutto per $k>=2$ (sono partito da 2 perchè $Z_1$ non è definito, potresti definirla in qualche maniera ad esempio dandogli il valore 1).
$M$ è una martingala ed ha media 0.
Dunque $E|M_n|^2=Var[M_n]=sum_{k=2}^n1/(log^2(k))(1/k-1/k^2)<=sum_{k=2}^{infty}1/(log^2(k))(1/k-1/k^2)<+infty$
Dunque sup_n$E|M_n|^2
Il termine che dicevi te $E[M_n]^2$ non ha effetti perchè in una martingala la media è costante e dunque quella è una costante. Daltronde se tu hai una martingala $M$ con media (costante) $mu$, allora hai che $M-mu$ è una martingala di media 0. e se una converge converge anche l'altra.
Chiamiamo $M_n=sum_{k=2}^n Z_k$ dove $Z_k=(Y_k-1/k)/log(k)$ il tutto per $k>=2$ (sono partito da 2 perchè $Z_1$ non è definito, potresti definirla in qualche maniera ad esempio dandogli il valore 1).
$M$ è una martingala ed ha media 0.
Dunque $E|M_n|^2=Var[M_n]=sum_{k=2}^n1/(log^2(k))(1/k-1/k^2)<=sum_{k=2}^{infty}1/(log^2(k))(1/k-1/k^2)<+infty$
Dunque sup_n$E|M_n|^2
Il termine che dicevi te $E[M_n]^2$ non ha effetti perchè in una martingala la media è costante e dunque quella è una costante. Daltronde se tu hai una martingala $M$ con media (costante) $mu$, allora hai che $M-mu$ è una martingala di media 0. e se una converge converge anche l'altra.
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