Problema di Probabilità & Proprietà fondamentale

[Sentenza1]

Salve a tutti, premetto che non sono uno studente universitario, ma attualmente frequento il 3° anno di un Istituto Tecnico. Ho scritto in questa sezione perchè non ho trovato quest'ultima nelle sezioni "Scuola secondaria di secondo grado". Avevo dei dubbi riguardo questi due problemi accomunati dalla probabilità. (Questi argomenti vengono studiati nella materia "Sistemi").

1) Uno degli impianti di illuminazione di uno stadio è costituito da un pannello contenente sedici lampade alogene. Ciascuna lampada può essere accesa o spenta indipendentemente dalle altre. Pertanto l'insieme dei simboli equiprobabili emessi dalla sorgente corrisponde all'insieme di tutte le configurazioni che è possibile realizzare.
- Quante sono le configurazioni realizzabili?
- Quanto vale l'Entropia della sorgente?

Nel primo quesito non riesco a muovermi, anche se dovrebbe essere banale, mi spieghereste il procedimento per capire le configurazioni applicabili? Per quanto riguarda il secondo, io so che l'entropia è uguale alla quantità di informazioni solo se i simboli sono equiprobabili, quindi una volta trovale te configurazioni procederò con calcolare Q, cioè: $ Q = log_2 1/(P(s)) $ . (P(s) sarebbero le configurazioni). Quindi il secondo punto mi è chiaro, ma non so come trovare le configurazioni. Ringrazio tutti anticipatamente.

2) Una sorgente emette i 6 simboli: $ S_1, S_2.. S_5 e S_6 $ con:
$ P(s_1) = P(s_2) = P(s_3)

$ P(s_4) = P(s_5) = 2P (s_1)

$ P(s_6) = 1,5P(s_4)

- Quanto valgono $ P(s_1), P(s_2),..., P(s_5) e P(s_6) $ ?
- Quanto valgono $ Q(s_1), Q(s_2),..., Q(s_5) e Q(s_6) $ ?
- Quanto vale l'Entropia $ H $ della sorgente?
- Quanto vale la lunghezza del codice ottimale $ L $? (1° Teorema di Shennon)

Per quanto riguarda il punto uno, credo sia l'unico punto da non riuscire a svolgere. Per venirvi incontro conosco solo la formula che si usa, cioè la proprietà fondamentale delle probabilità:

$ P(s_1) + P(s_2) + .. + P(s_n) = 1 $

Ora, chi è capace di svolgere il punto uno, potrebbe spiegarmelo attentamente? Non ho davvero capito come procedere, è da un po che mi porto questo problema, mi sarebbe davvero utile una spiegazione dettagliata. Grazie infinite. Il punto 2 è abbastanza semplice, in quanto applico ad ogni $ Q $ il risultato del rispettivo $ P(s) $ con la formula:

$ Q = log_2 1/(P(s)) $

Visto che i simboli non sono equiprobabili, l'entropia la devo calcolare da un altra formula, cioè:

$ H = P(s_1) Q(s_1) + P(s_2) Q(s_2) + ... + P(s_n) Q(s_n) $

L'ultimo punto è estremamente semplice, in quanto:

$ L = |H| vv |H| + 1 $

Quindi il problema è per il primo punto, grazie a tutti.

[cenzo1]

"Sentenza":1) Uno degli impianti di illuminazione di uno stadio è costituito da un pannello contenente sedici lampade alogene. Ciascuna lampada può essere accesa o spenta indipendentemente dalle altre. Pertanto l'insieme dei simboli equiprobabili emessi dalla sorgente corrisponde all'insieme di tutte le configurazioni che è possibile realizzare.
- Quante sono le configurazioni realizzabili?

Se il pannello ha una sola lampada avremmo solo 2 configurazioni possibili (accesa/spenta oppure A/S);
Se il pannello ha 2 lampade, in corrispondenza di ciascuno stato della prima (2 possibilità) abbiamo 2 possibili stati della seconda lampada, quindi $2*2$ configurazioni (AA, AS, SA, SS);
Riesci a continuare da solo nel caso di 3 lampade e, in generale, nel caso di $n=16$ lampade ?

"Sentenza":2) Una sorgente emette i 6 simboli: $ S_1, S_2.. S_5 e S_6 $ con:
$ P(s_1) = P(s_2) = P(s_3)

$ P(s_4) = P(s_5) = 2P (s_1)

$ P(s_6) = 1,5P(s_4)

- Quanto valgono $ P(s_1), P(s_2),..., P(s_5) e P(s_6) $ ?

Per quanto riguarda il punto uno, credo sia l'unico punto da non riuscire a svolgere. Per venirvi incontro conosco solo la formula che si usa, cioè la proprietà fondamentale delle probabilità:

$ P(s_1) + P(s_2) + .. + P(s_n) = 1 $

Come hai detto, si tratta di applicare questa proprietà, riconducendo tutte e 6 le probabilità in funzione di una soltanto, in modo da avere una equazione in una sola incognita.

Poni ad esempio $x=P(s_1)$, ricava le altre probabilità in funzione di $x$ con le informazioni assegnate e poi imponi che la loro somma sia uguale ad 1. Dopo avere risolto l'equazione e trovato $x$, potrai poi ricavare le altre probabilità dalle relazioni date.

[Sentenza1]

Per il primo punto siamo d'accordo, quindi:

1. A/S;
2. AA / AS / SA / SS;
3. AAA / SSS / ASA / AAS / SAA / SSA;

$3 * 3 ?

Giusto? Ovviamente continuando per 16. E' giusto così?

Per il secondo punto continuo ad essere ancora confuso, puoi farmi un esempio su come ricavare $ P(s_1)?
Cioè per esempio:

$ P(s_2) = P(s_3)
$ P(s_3) = P(s_4)
$ P(s_4) = P(s_5)
$ P(s_5) = 2P(s_1)
$ P(s_6) = 1,5P(s_4)

Quindi, $ P(s_1) = 2P(s_5)?

Se così è giusto, come posso impostare la formula?

[cenzo1]

"Sentenza":Per il primo punto siamo d'accordo, quindi:
3. AAA / SSS / ASA / AAS / SAA / SSA;
Giusto?

No. Con 3 lampade hai $2*2*2=2^3=8$ modi possibili (ognuna può essere accesa o spenta (2 modi) e sono 3 lampade)

AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS

"Sentenza":Per il secondo punto continuo ad essere ancora confuso, puoi farmi un esempio su come ricavare $ P(s_1)?

Come ti suggerivo, poni ad esempio $x=P(s_1)$
Poi hai (dati del problema):
$P(s_2)=P(s_1)=x$
$P(s_3)=P(s_1)=x$
$P(s_4)=2*P(s_1)=2*x$
$P(s_5)=2*P(s_1)=2*x$
$P(s_6)=1,5*P(s_4)=1,5*2*x=3*x$

Ora devi sostituire dentro questa relazione: $ P(s_1)+P(s_2)+ P(s_3)+P(s_4)+P(s_5)+P(s_6)=1$

Avrai un'equazione nella sola incognita $x$, e quindi ricavi $x$, cioè $P(s_1)$.

Quindi ricavi le altre probabilità dalle precedenti relazioni.

[Sentenza1]

1. Punto chiarissimo, quindi a 4 configurazioni avremo $ 2*2*2*2
2. Chiarissimo, capito chiaramente.

Ti ringrazio, grazie mille =) tutto chiaro!