Problema di probabilità
salve a tutti!!!
volevo porvi un quesito di probabilità che ahimè non sono riuscito a risolvere.
dati n vagoni, ciascuno dei quali ha n posti, qual'è la probabilità che n persone si dispongano in modo tale da non lasciare alcun vagone vuoto??
grazie in anticipo.
volevo porvi un quesito di probabilità che ahimè non sono riuscito a risolvere.
dati n vagoni, ciascuno dei quali ha n posti, qual'è la probabilità che n persone si dispongano in modo tale da non lasciare alcun vagone vuoto??
grazie in anticipo.
Risposte
Mi sembra semplice: se hai lo stesso numero $n$ di vagoni e viaggiatori c'è un solo modo di occupare almeno un posto per vagone (ovvero un viaggiatore per ogni vagone), mentre in totale $n$ persone possono mettersi in $n^2$ posti ($n$ posti di $n$ vagoni). Sai come procedere?
innanzitutto grazie per la risposta 
!! però mi sono sorti dei dubbi sul numero di eventi che possano soddisfare la condizione richiesta di cui voglio calcolare la probabilità ovvero: non dovrei tener conto anche dei modi in cui ciascuna delle n persone si dispone in ciascun vagone?? nel senso se un vagone ha 3 posti, 1 persona può mettersi al posto 1 2 o 3 e così via per le altre. spero di essere stato in grado di esprimere la mia perplessità. grazie ancora!!!!
!! però mi sono sorti dei dubbi sul numero di eventi che possano soddisfare la condizione richiesta di cui voglio calcolare la probabilità ovvero: non dovrei tener conto anche dei modi in cui ciascuna delle n persone si dispone in ciascun vagone?? nel senso se un vagone ha 3 posti, 1 persona può mettersi al posto 1 2 o 3 e così via per le altre. spero di essere stato in grado di esprimere la mia perplessità. grazie ancora!!!!
Certo, giusta osservazione. Dipende solo da come approcci il problema, vediamo:
- se ogni vagone deve essere occupato, c'è esattamente una persona su ogni vagone (che può sedersi in $n$ posti diversi) e puoi scegliere fra $n$ persone differenti per il primo vagone, $n-1$ per il secondo e così via; quindi il numero totale di modi (veramente) diversi che hanno le persone di sedersi di modo che nessun vagone sia vuoto è... prova a completare.
- il numero totale di modi differenti di sedersi che hanno $n$ persone su $n^2$ posti è invece è...? Consiglio: la prima persona può scegliere di sedersi in $n^2$ posti differenti, la seconda in $n^2-1$ e così via.
[Ignoro le tue nozioni di combinatoria, sto cercando solo di proporti dei ragionamenti]
- se ogni vagone deve essere occupato, c'è esattamente una persona su ogni vagone (che può sedersi in $n$ posti diversi) e puoi scegliere fra $n$ persone differenti per il primo vagone, $n-1$ per il secondo e così via; quindi il numero totale di modi (veramente) diversi che hanno le persone di sedersi di modo che nessun vagone sia vuoto è... prova a completare.
- il numero totale di modi differenti di sedersi che hanno $n$ persone su $n^2$ posti è invece è...? Consiglio: la prima persona può scegliere di sedersi in $n^2$ posti differenti, la seconda in $n^2-1$ e così via.
[Ignoro le tue nozioni di combinatoria, sto cercando solo di proporti dei ragionamenti]
quindi in base ai tuoi suggerimenti provo ad azzardare una soluzione:
- il numero totale di modi diversi che hanno le persone di sedersi di modo che nessun vagone sia vuoto è pari a $n!$
- il numero totale di modi differenti di sedersi è pari a $(n^2)!$
La probabilità dell'evento in questione dovrebbe essere $(n!)/((n^2)!)$
E' corretto?
- il numero totale di modi diversi che hanno le persone di sedersi di modo che nessun vagone sia vuoto è pari a $n!$
- il numero totale di modi differenti di sedersi è pari a $(n^2)!$
La probabilità dell'evento in questione dovrebbe essere $(n!)/((n^2)!)$
E' corretto?
"giocoz85":
- il numero totale di modi diversi che hanno le persone di sedersi di modo che nessun vagone sia vuoto è pari a $n!$
Consideriamo le persone e i posti ordinatamente e tutti differenti; quindi nel caso di tutti i vagoni occupati, ogni persona può - all'interno del vagone - sedersi in $n$ posti differenti, ciò significa che in totale ho $n^n*n!$ disposizioni di persone a sedere: infatti scelgo la prima fra $n$ diverse che può mettersi a sedere in $n$ posti differenti sul primo vagone, la seconda fra $n-1$ diverse che può sedersi in $n$ modi differenti nel secondo vagone e così via.
Analogamente se sono ordinati, ho $n$ persone che possono sedersi su $n^2$ posti differenti, la prima può scegliere fra $n^2$ posti, la seconda fra $n^2-1$ posti e così via per tutte (considerando i posti ordinati posso ignorare il fatto che i vagoni siano tutti di $n$ posti, l'importante è che ci sono $n^2$ posti diversi). Ottengo un totale di $n^2*(n^2-1)*(n^2-2)...*(n^2-n)$ modi, sono il produttorio di $n$ fattori da $n^2$ decrescente, che corrisponde a $((n^2),(n))*n!$. Quindi
$p=(n^n*n!)/(((n^2),(n))*n!)=n^n/(((n^2),(n)))$
Attendo anche interventi di altri per conferme/smentite, e magari per un metodo più semplice.
"Rggb":
Attendo anche interventi di altri per conferme/smentite, e magari per un metodo più semplice.
Confermo il conto di Rggb (molto arguto il non considerare il fattore $n!$ tra i casi possibili).
Un approccio alternativo (ma direi meno semplice) potrebbe essere il seguente, basato direttamente sul prodotto delle probabilità.
Consideriamo per ora il caso $n=5$, poi generalizziamo.
La prima persona può scegliere il posto che vuole (probabilità uno), e così un vagone resta escluso.
La seconda persona può scegliere uno dei 20 posti dei 4 vagoni vuoti tra i 24 disponibili (dei 25 iniziali uno è stato occupato dalla prima persona), quindi $20/24$.
La terza persona potrà occupare uno dei 15 posti dei 3 vagono vuoti tra i 23 disponibili (25-2 occupati dalle prime due persone).
Analogamente per la quarta e la quinta persona.
In totale la probabilità richiesta è $20/24*15/23*10/22*5/21$
Generalizziamo: $p=(n*(n-1))/(n^2-1)*(n*(n-2))/(n^2-2)*(n*(n-3))/(n^2-3)...(n*1)/(n^2-n+1)=(n^(n-1)*(n-1)!)/(D_{n^2-1,n-1})$
dove ho indicato con $D_{n,k}$ le disposizioni semplici di $n$ elementi presi $k$ alla volta.
Se moltiplichiamo e dividiamo per $n^2$ abbiamo: $p=(n^n*n!)/(n^2*D_{n^2-1,n-1})=(n^n*n!)/(D_{n^2,n})$
che è la stessa formula ottenuta da Rggb in modo più semplice
grazie ragazzi! finalmente sono riuscito a capire questo problema!
Ciao a tutti, ho anche io un problema di probabilità che non riesco a risolvere..scrivo qui per non iniziare un altro argomento uguale.
Determinare la probabilità che tre vertici scelti a caso tra quelli di un poligono regolare di 33 lati individuino un triangolo rettangolo.
Io ho pensato a come devono essere presi i vertici di un triangolo affinchè sia rettangolo, ma non so come risolvere il problema
Grazie mille in anticipo
Determinare la probabilità che tre vertici scelti a caso tra quelli di un poligono regolare di 33 lati individuino un triangolo rettangolo.
Io ho pensato a come devono essere presi i vertici di un triangolo affinchè sia rettangolo, ma non so come risolvere il problema
Grazie mille in anticipo
"nik95":
Determinare la probabilità che tre vertici scelti a caso tra quelli di un poligono regolare di 33 lati individuino un triangolo rettangolo
Qualche idea in merito o un tentativo di risoluzione ?
Ho supposto, per comodità, che i vertici sono disposti in senso antiorario a AB sia un cateto. Per essere rettangolo AC dovrà essere perpendicolare ad AB e C quindi può essere scelto fra qualsiasi dei vertici del poligono, eccetto A e B, quindi fra i 31 restanti.
Il mio problema, sempre che ciò non sia tutto errato, è che non so come proseguire definendo una relazione..
Il mio problema, sempre che ciò non sia tutto errato, è che non so come proseguire definendo una relazione..
"nik95":
Ho supposto, per comodità, che i vertici sono disposti in senso antiorario a AB sia un cateto. Per essere rettangolo AC dovrà essere perpendicolare ad AB e C quindi può essere scelto fra qualsiasi dei vertici del poligono, eccetto A e B, quindi fra i 31 restanti
La prima cosa che mi chiedevo era quanti casi possibili ci sono, cioè quanti triangoli possiamo formare scegliendo casualmente 3 vertici del poligono regolare. La scelta non la puoi fare solo sul terzo vertice C (son d'accordo sulle 31 possibilità), ma prima devi scegliere anche A e B a caso, quindi i casi possibili sono di più.
Passando poi ai casi favorevoli, direi che se il polignono ha un numero $n$ dispari di vertici (e quindi di lati), nel tuo caso $n=33$, non ci sono casi favorevoli, cioè non c'è nessun triangolo rettangolo. Diverso è il caso in cui $n$ è pari...
Questo problema starebbe molto bene nella sezione "Giochi matematici".
Una curiosità: da dove salta fuori il problema ?
Mi scuso, non avevo considerato la sezione "Giochi matematici" ma avevo inteso il problema come generico sulla probabilità. Il problema l'ho trovato online fra alcuni quesiti matematici di vario genere e mi aveva incuriosito, salvo poi non essere capace di risolverlo.
Comunque grazie per l'aiuto, non avevo proprio pensato alla distinzione fra numero pari e dispari di lati.
Grazie
Comunque grazie per l'aiuto, non avevo proprio pensato alla distinzione fra numero pari e dispari di lati.
Grazie
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