Problema di probabilità
Buonasera, ho questo problema: un sistema di produzione è costituito da due macchine M1 e M2 ed è funzionante solo se entrambe le macchine lo sono. La probabilità che una delle due macchine si guasti in un dato giorno è 0.04. Qual è la probabilità di funzionamento del sistema? Al fine di aumentare la probabilità di funzionamento del sistema, si valuta l’acquisto di una macchina M3, che lavori con una delle altre due in caso di guasto dell’altra macchina. Sapendo che la probabilità di guasto di M3 è 0.04. Si calcoli la probabilità di guasto del sistema dopo l’eventuale acquisto di M3.
Ho risolto il primo quesito, trovando come valore di probabilità 0.9216. Il problema è che non riesco col secondo.
Ho ragionato così: indicando con $M_i$ il funzionamento della macchina $i$, e con $bar M_i$ il guasto della macchina $i$, la probabilità di guasto del sistema con la terza macchina è : $P(M_1nn barM_2)+P(M_1nnbarM_3)+P(M_2nnbarM_3)+P(barM_2nnM_3)+P(M_1nnbarM_3)+P(barM_1nnM_2)$.
Il risultato di questo ragionamento è sbgliato.
Sapreste aiutarmi a capire come risolvere?
Ho risolto il primo quesito, trovando come valore di probabilità 0.9216. Il problema è che non riesco col secondo.
Ho ragionato così: indicando con $M_i$ il funzionamento della macchina $i$, e con $bar M_i$ il guasto della macchina $i$, la probabilità di guasto del sistema con la terza macchina è : $P(M_1nn barM_2)+P(M_1nnbarM_3)+P(M_2nnbarM_3)+P(barM_2nnM_3)+P(M_1nnbarM_3)+P(barM_1nnM_2)$.
Il risultato di questo ragionamento è sbgliato.
Sapreste aiutarmi a capire come risolvere?
Risposte
La probablita' che il sistema funzioni con 3 macchine, si verifica quando tutte e 3 sono ok, o se solo una e' rotta (e le altre 2 sono ok).
Probabilita' che tutte siano ok: $(1-0.04)^3$
Probabilta' di una rotta e 2 ok: $0.04 * (1-0.04)^2$.
Quest' ultima combinazione si puo' verificare in 3 modi diversi, cioe' se la macchina rotta e' la 1, la 2 o la 3.
Quindi in totale la pr. del sistema di funzionare e': $(1-0.04)^3 + 3*0.04 * (1-0.04)^2 = 0,995328$.
Per confronto, la probabilita' di funzionare con un sistema fatto da sole 2 macchine era $0.96$
Alternativamente puoi scrivere una specie di tabella di verita' ed assegnare ad ogni evento la sua probabilita'.
Oppure se preferisci anche, un altro modo simpatico di visualizzare questo problema e' quello di usare un "binomio al cubo", ovvero questa immagine:
La probabilita' che il sistema funzioni e' dato dai volumi disegnati in scuro, fatto 1 il volume complessivo del cubo.
$a$ sarebbe la probabilita' di una macchina ok e $b$ la probabilita' di una macchina rotta.
Comunque questa visualizzazione funziona solo con questo esercizio, quindi non dargli troppo peso.
Probabilita' che tutte siano ok: $(1-0.04)^3$
Probabilta' di una rotta e 2 ok: $0.04 * (1-0.04)^2$.
Quest' ultima combinazione si puo' verificare in 3 modi diversi, cioe' se la macchina rotta e' la 1, la 2 o la 3.
Quindi in totale la pr. del sistema di funzionare e': $(1-0.04)^3 + 3*0.04 * (1-0.04)^2 = 0,995328$.
Per confronto, la probabilita' di funzionare con un sistema fatto da sole 2 macchine era $0.96$
Alternativamente puoi scrivere una specie di tabella di verita' ed assegnare ad ogni evento la sua probabilita'.
000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 1 110 1 111 1
Oppure se preferisci anche, un altro modo simpatico di visualizzare questo problema e' quello di usare un "binomio al cubo", ovvero questa immagine:
La probabilita' che il sistema funzioni e' dato dai volumi disegnati in scuro, fatto 1 il volume complessivo del cubo.
$a$ sarebbe la probabilita' di una macchina ok e $b$ la probabilita' di una macchina rotta.
Comunque questa visualizzazione funziona solo con questo esercizio, quindi non dargli troppo peso.
Quinzio, ti ringrazio davvero tanto per l'esaustiva spiegazione!
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