Problema di probabilità
Ciao amici,
Chi di voi conosce la risposta a questo quesito?
Per avere informazioni sulla diffusione di una malattia, si fanno test diagnostici non invasivi e poco costosi, ottenendo una prima informazione, da sottoporre a verifiche più approfondite nei casi di esito positivo.
Supponiamo che si sappia che la probabilità che il test funzioni correttamente nel caso di individui malati (ossia risulti positivo) sia del 99%, mentre quella che il test funzioni correttamente nel caso di individui sani (ossia risulti negativo) sia del 99,5%. Se si sa anche che la probabilità di avere quella malattia è dello 0,5%, qual è la probabilità che un individuo positivo al test sia davvero malato?
FRANCA: «Se il test è positivo, il paziente è malato almeno al 99%!».
MARCO: «Però la malattia è poco diffusa; intendo dire che è raro che un individuo testato sia malato, quindi la probabilità dovrebbe essere molto più bassa del 99%, direi anche molto più bassa del 90%».
Chi ha ragione, secondo te? Costruisci un diagramma ad albero delle situazioni possibili; poi usa il teorema del prodotto per eventi dipendenti...
Chi di voi conosce la risposta a questo quesito?
Per avere informazioni sulla diffusione di una malattia, si fanno test diagnostici non invasivi e poco costosi, ottenendo una prima informazione, da sottoporre a verifiche più approfondite nei casi di esito positivo.
Supponiamo che si sappia che la probabilità che il test funzioni correttamente nel caso di individui malati (ossia risulti positivo) sia del 99%, mentre quella che il test funzioni correttamente nel caso di individui sani (ossia risulti negativo) sia del 99,5%. Se si sa anche che la probabilità di avere quella malattia è dello 0,5%, qual è la probabilità che un individuo positivo al test sia davvero malato?
FRANCA: «Se il test è positivo, il paziente è malato almeno al 99%!».
MARCO: «Però la malattia è poco diffusa; intendo dire che è raro che un individuo testato sia malato, quindi la probabilità dovrebbe essere molto più bassa del 99%, direi anche molto più bassa del 90%».
Chi ha ragione, secondo te? Costruisci un diagramma ad albero delle situazioni possibili; poi usa il teorema del prodotto per eventi dipendenti...
Risposte
basta usare il teorema di Bayes:
Consideriamo una popolazione formata da un milione di persone....facciamo i conti in dati assoluti perché altrimenti ci sono troppe virgole di mezzo....vediamo la distribuzione delle variabili Test e individui (M= malato, S=sano)
${: ( , M , S , t o t ),( T^(+) , 4.950 , 4.975 , 9.925 ),( T^(-) , 50 , 990.025 , 990.075 ),( t o t , 5.000 , 995.000 , 1.000.000 ) :}$
La probabilità richiesta è:
$P(M|T^(+))=(P(M nn T^(+)))/(P(T^(+)))=(4950)/(9925)=0,4987$
Consideriamo una popolazione formata da un milione di persone....facciamo i conti in dati assoluti perché altrimenti ci sono troppe virgole di mezzo....vediamo la distribuzione delle variabili Test e individui (M= malato, S=sano)
${: ( , M , S , t o t ),( T^(+) , 4.950 , 4.975 , 9.925 ),( T^(-) , 50 , 990.025 , 990.075 ),( t o t , 5.000 , 995.000 , 1.000.000 ) :}$
La probabilità richiesta è:
$P(M|T^(+))=(P(M nn T^(+)))/(P(T^(+)))=(4950)/(9925)=0,4987$
Però nel capitolo del libro non si parla di questo bayes! 
Inizialmente ho scritto:
A: positivo al test
B: malato
$ rho (Ann B) = p(A)\cdot p(B|A) $
E' chiaro che il terzo termine da sinistra è l'incognita, il secondo o centrale un termine noto (99/100) ma il primo?!?
Secondo me c'è una spiegazione più semplice... deve esistere...
Inizialmente ho scritto:
A: positivo al test
B: malato
$ rho (Ann B) = p(A)\cdot p(B|A) $
E' chiaro che il terzo termine da sinistra è l'incognita, il secondo o centrale un termine noto (99/100) ma il primo?!?
Secondo me c'è una spiegazione più semplice... deve esistere...
"tommik":
consideriamo una popolazione formata da un milione di persone....facciamo i conti in dati assoluti perché se non ci sono troppe virgole di mezzo....vediamo la distribuzione delle variabili Test e individui (M= malato, S=sano)
${: ( , M , S , t o t ),( T+ , 4.950 , 4.975 , 9.925 ),( T- , 50 , 990.025 , 990.075 ),( t o t , 5.000 , 995.000 , 1.000.000 ) :}$
La probabilità richiesta è:
$P(M|T+)=(P(M nn T+))/(P(T+))=(4950)/(9925)=0,4987$
non capisco nulla di quello che scrivi...
non so cosa è questo + che metti nelle formule...
cosa sono T+ e T- ?
"balestra_romani":
non capisco nulla di quello che scrivi...
ops...ho semplicemente indicato $T+$ l'evento "test positivo"
"tommik":
[quote="balestra_romani"]Però nel capitolo del libro non si parla di questo bayes!
Inizialmente ho scritto:
A: positivo al test
B: malato
$ rho (Ann B) = p(A)\cdot p(B|A) $
E' chiaro che il terzo termine da sinistra è l'incognita, il secondo o centrale un termine noto (99/100) ma il primo?!?
la probabilità di essere positivo al test non è noto inizialmente..non è $99/100$..anche gli individui sani possono risultare positivi....(falsi positivi)[/quote]
e già! verissimo!
come fai a dire che se il test è positivo ci sono 4950 malati!?! no no, proprio non capisco... cavolo che nervoso...
"balestra_romani":
come fai a dire che se il test è positivo ci sono 4950 malati!?! no no, proprio non capisco... cavolo che nervoso...
dunque seguimi:
partiamo da un milione di persone. Il testo ci dice che il 0,5% sono malati...quindi i malati sono 5000.
Il testo ci dice che se un malato fa un test, il test è positivo al 99%....quindi la coppia test positivo-malato sarà $0,99\cdot5000=4950$
Una volta calcolato 4950, dato che i malati sono 5000 è ovvio che la coppia test negativo-malato deve essere, per differenza, 50.
ecc ecc
"tommik":
..anche gli individui sani possono risultare positivi....(falsi positivi)
e tra l'altro, data la stragrande maggioranza di individui sani...in termini assoluti, il numero dei falsi positivi è quasi uguale a quello dei veri positivi.....ed è questo che fa scendere la probabilità condizionata in maniera drastica...per cui alla fine ottieni un risultato (solo apparentemente) imbarazzante, ovvero che la probabilità di essere davvero malato, dato il test positivo, è bassissima.
Questo problema è stato a lungo dibattuto alla fine degli anni '80, quando si paventava l'ipotesi di fare screening di massa per il test HIV.
Il teorema di Bayes mostra come, se la percentuale dei malati è (come allora si era calcolato) intorno allo 0,2%, la probabilità di essere davvero malato, dato un test positivo, sarebbe circa del 30%...se non ricordo male
chiaro?
Mannaggia ma sei un genio! Ho sudato a capire la soluzione ora mi è tutto chiaro! Accipicchia non ci sarei mai arrivato, complimenti! Mi inchino letteralmente difronte alla tua mente! Bravissimo! 
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