Problema di Probabilità 1

[Sk_Anonymous]

Due amici decidono di incontrarsi entro un'ora prestabilita al centro di una piazza, con la condizione che quando uno di loro arriva aspetta cinque minuti l'altro e poi se ne va. Qual è la probabilità che i due amici si incontrino?

Il nostro professore ci ha detto che il risultato è $23/144$. Qualche suggerimento?

[adaBTTLS1]

bisogna considerare il tempo di un'ora come possibile arrivo di entrambi gli amici. se X ed Y rappresentano i tempi di arrivo di ciascuno dei due essi si incontrano se $|X-Y| <= 1/12$. prima che ti faccia venire strane idee, nota che 5 minuti rappresentano 1/12 di ora!
ti conviene rappresentare in un piano cartesiano un quadrato di lato 1 con vertici (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). traccia le rette $y=x+-1/12$. la probabilità cercata è data dall'area dell'esagono intersezione tra il quadrato e la striscia di piano: $P=1-(11/12)^2=23/144$. ciao.

[franced]

"adaBTTLS":bisogna considerare il tempo di un'ora come possibile arrivo di entrambi gli amici. se X ed Y rappresentano i tempi di arrivo di ciascuno dei due essi si incontrano se $|X-Y| <= 1/12$. prima che ti faccia venire strane idee, nota che 5 minuti rappresentano 1/12 di ora!
ti conviene rappresentare in un piano cartesiano un quadrato di lato 1 con vertici (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). traccia le rette $y=x+-1/12$. la probabilità cercata è data dall'area dell'esagono intersezione tra il quadrato e la striscia di piano: $P=1-(11/12)^2=23/144$. ciao.

Esatto: le coordinate di ogni punto del quadrato rappresentano gli orari di arrivo dei due amici.
E' un esempio di come la geometria possa essere utile anche in probabilità.

[ambaradam1]

Salve, leggo oggi questo quesito. Invero l'avevo risolto considerando la congiunzione dei 5 minuti, che è l'intervallo che permette l'incontro. Quindi calcolavo (5/60)^2.
Geometricamente invece trovo esatta la dimostrazione. Ma noto che la versione algebrica diventa (5/60)^2+2*(5*55)/60^2= 23/144.
Ma il termine 5*55 non indica la congiunzione di un intervallo in cui un amico c'è con l'intervallo in cui l'altro amico è assente?

Seconda curiosità è: e se fossero tre gli amici?

Chi mi aiuta a capire meglio? grazie

Ambaradam

[adaBTTLS1]

"ambaradam":noto che la versione algebrica diventa $(5/60)^2+2*(5*55)/60^2= 23/144$.

benvenuto nel forum, ho messo il simbolo di dollaro prima e dopo la formula nella citazione.
hai ripreso questo vecchio post, ed io non ti ho risposto subito, anche perché da tempo non partecipo con assiduità.

Prendo spunto dalla tua formula che ho evidenziato:
sai che in probabilità si usa la moltiplicazione quando si fa l'intersezione di eventi indipendenti, la somma quando si fa l'unione di eventi incompatibili...
i due amici io li avevo chiamati X ed Y: nel continuo, un "punto" ha probabilità zero, quindi non ci poniamo nemmeno il problema di arrivo in un istante preciso, e neppure dell'arrivo contemporaneo dei due amici.
i casi incompatibili che possiamo ipotizzare sono:
il primo arriva nei primi 55 minuti (in questo caso il secondo può arrivare nei successivi 5 minuti): però il primo può essere indifferentemente X o Y, quindi ci sono due sottocasi equiprobabili e incompatibili, da cui 55*5 lo moltiplichiamo per 2;
altro caso, senza distinguere quale dei due arriva prima: X ed Y arrivano entrambi negli ultimi 5 minuti.
i denominatori sono evidenti: a parte, geometricamente, l'area del quadrato, algebricamente ognuno dei due può arrivare nei 60 minuti.
spero sia chiaro.
Per quanto riguarda i tre amici, chiamiamoli X, Y, Z, ti puoi divertire, geometricamente, a ricavare il volume del solido "dentro il cubo di lato 1 ora (o 60 minuti)", tanto per non parlare di metri o cm, per cui l'incontro avviene.
Naturalmente dipende dal problema. Se intendi dire che i tre amici arrivano a caso e aspettano 5 minuti, senza stare a distinguere se il secondo aspetta il terzo dopo che il primo lo ha aspettato e non si sa se lo ha incontrato,..., insomma se il problema diventa: trova la probabilità che si incontrino tutti e tre nell'ipotesi che il primo aspetti solo cinque minuti, indipendentemente che il secondo arrivi entro i cinque minuti successivi oppure no, nel caso che il terzo non arrivi in tempo...
la formula diventerebbe:
$[3*(55*5^2)+5^3]/(60^3)$
3 casi in cui il primo arriva nei primi 55 minuti, perché il primo può essere X,Y,Z, e non importa chi è il secondo, e un caso in cui tutti e tre arrivano negli ultimi 5 minuti, e non importa in che ordine.
Ciao.
Se ti capita di ripassare da queste parti, ..., facci sapere.