Problema di PDF e CDF

[Bandit1]

Ciao a tutti ragazzi ho un problema con questo esercizio di probabilità

Se ho un processo aleatorio $x(t)=Acos(w_ot)$
dove A=variabile aleatoria di Laplace con la densità di probabilità (PDF) $f_A(alpha)=1/2e^(-alpha)$
voglio calcolarmi la $f_x(x,t)$ in
$t_1=0$
$t_2=pi/(2w_0)$

Come si fa?
so che
$x_1=x(t_1=0)=A$
e che $x_2=x(t_2=pi/(2w_0))=0$
poi che si dovrebbe fare più?

le CDF
$F_x(x_1,t_1)=P(x_1<=x)=P(A<=x)$
$F_x(x_2,t_2)=P(x_2<=x)=P(0<=x)

risultato dovrebbe essere, ma non capisco perchè
$f_x(x,t_1)=f_A(x)=1/2e^(x)

$f_x(x,t_2)=delta(x)

grazie mille a tutti anticipatamente

[elgiovo]

In $t_1=0$ il processo (parametrico) varrà $bbx(0)=bbA * cos (omega_0 * 0)=bbA$, quindi $f_(bbx)(x,0)=f_(bbA)(x)$.
In $t_2=(pi)/(2 omega_0)$ il processo varrà $bbx((pi)/(2 omega_0))=bbA * cos (omega_0 * (pi)/(2 omega_0))=bbA * cos (pi/2)=0$ per ogni valore di $bbA$, quindi $f_(bbx)(x,0)=delta(x)$.

[Bandit1]

"elgiovo":In $t_1=0$ il processo (parametrico) varrà $bbx(0)=bbA * cos (omega_0 * 0)=bbA$, quindi $f_(bbx)(x,0)=f_(bbA)(x)$.
In $t_2=(pi)/(2 omega_0)$ il processo varrà $bbx((pi)/(2 omega_0))=bbA * cos (omega_0 * (pi)/(2 omega_0))=bbA * cos (pi/2)=0$ per ogni valore di $bbA$, quindi $f_(bbx)(x,0)=delta(x)$.

grazie per la risposta

però non capisco il collegamento
per ogni valore di $bbA$, quindi $f_(bbx)(x,0)=delta(x)$

[elgiovo]

Qualunque sia il valore di $bbA$, il processo $bbx(t)$, in $t=(pi)/(2 omega_0)$, vale $0$ spaccato, quindi la sua massa è tutta concentrata in $0$.

[Bandit1]

credo che abbia capito,
ci sono alternative per il termine "massa"?

[elgiovo]

Diciamo che va bene anche "densità di probabilità" (per la sottile differenza tra i concetti vedi qui).
In $t_2$ il processo cessa di essere aleatorio, è un numero ben determinato, quindi tutta la densità "collassa" in una delta di Dirac.

[Bandit1]

ok , grazie
lo leggerò con attenzione