Problema di Inferenza

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mariolino8999
mariolino8999
31 dic 2016, 10:36
Salve, ho un un dubbio enorme su questo esercizio:
$ X|Y=y ~ N(0, lambda*y^2) ; Y~ N(mu,1) $; con mu>0, lambda >0 $ $
Le stime di max verosimiglianza dai miei calcoli risultano:
$ hat(mu) = sum(Yi)/n ; hat(lambda)= sum (X^2/Y^2) $ ; ovviamente in lambda con xi ed yi per i=1...n
A)il problema sorge quando mi chiede di calcolare la varianza di lambda per vedere se raggiunge il limite inferiore di Rao-Cramer che risulta essere:
$ [ ( (2*lambda^2)/n , 0 ),( 0 , 1/n ) ] $
infatti quando calcolo la varianza:
$ var(hat(lambda) )= E(var(sum(X^2)/Y^2|Y)) $ in quanto $ Var(E(hat(lambda))|Y)=0 $ e poi non riesco più ad andare avanti;
B) mi viene chiesto di trovare poi la distribuzione esatta di lambda e mu:
$ hat(mu) ~ N(u, sigma^2/n=1/n) $ ; mentre non so come fare per lambda. Qualcuno ha dei suggerimenti??
Risposte
Lo_zio_Tom
Lo_zio_Tom
1 gen 2017, 10:59
"mariolino8999":
Salve, ho un un dubbio enorme su questo esercizio:

A)il problema sorge quando mi chiede di calcolare la varianza di lambda per vedere se raggiunge il limite inferiore di Rao-Cramer

... Qualcuno ha dei suggerimenti??


Punto A)

Il problema purtroppo sorge prima, in quanto lo stimatore di MV per $lambda$ che hai calcolato è sbagliato. A me viene:

$T=hat(lambda)=(Sigma_(i)x_(i)^2)/(ny^2)$

ed è giusto perché il lower bound mi torna esattamente come indicato:

Intanto verifichiamo che lo stimatore sia corretto...

$E(T)=1/(ny^2) SigmaE(x^2)=1/y^2 lambda y^2=lambda$ :D

Il lower bound dunque è

$V(T)>=1/(-nE{partial^2/(partial lambda^2)log f_(x)(lambda)})=(2lambda^2)/n$

Essendo:



A questo punto basta calcolare la varianza di tale stimatore:

$V(T)=1/(n^2)nV(x^2/y^2)=(lambda^2)/nV[1/(lambday^2)x^2]=$

$=lambda^2/n V[(x/(ysqrt(lambda)))^2]=(2lambda^2)/n$

cvd

Per l'altro stimatore stesso discorso anche se i conti sono molto più semplici...comunque sì, lo stimatore $bar(Y)$ è UMVUE e la sua varianza raggiunge il limite inferiore di Cramér Rao essendo $V((Sigmay)/n)=1/n^2 n=1/n$

"mariolino8999":

B) mi viene chiesto di trovare poi la distribuzione esatta di lambda e mu:


$lambda$ e $mu$ sono dei parametri....ti chiederà la distribuzione esatta degli stimatori di tali parametri, presumo....stimatori che immagino siano quelli di MV...immagino perché nel tuo riassunto non l'hai scritto....

Ad ogni modo, ecco i suggerimenti per risolvere il problema:

Supponiamo di avere una distribuzione normale di media e varianza incognite $N(mu;sigma^2)$

Sappiamo che

$U=((n-1)S^2)/sigma^2~ chi_((n-1))^2$

analiticamente ciò significa che:

$f_(U)=(1/2)^((n-1)/2)/(Gamma((n-1)/2))u^((n-1)/2-1)e^(-u/2)$

per cui, con una semplice trasformazione, abbiamo che:

$f_(S^2)(y)=((n-1)/(2sigma^2))^((n-1)/2) 1/(Gamma((n-1)/2))y^((n-3)/2)e^((-(n-1)y)/(2sigma^2))$

A differenza di questa soluzione "standard" in cui ti ho mostrato come ricavare la distribuzione dello stimatore della varianza in una distribuzione normale, nel tuo caso hai la media NOTA (e pari a zero, il che non guasta per semplificare i calcoli).

Quindi ricordando che, in un modello gaussiano, la seguente quantità

$(Sigma(x-mu)^2)/sigma^2~ chi_((n))^2$


e calcolando per bene gli stimatori di MV dovresti risolvere il problema.


*************************************
Vediamo anche un metodo alternativo per identificare lo stimatore più efficiente, ovvero quello la cui varianza raggiunge il lower bound. E' infatti sufficiente la seguente fattorizzazione:

$ Sigma partial/(partiallambda) log f (x, lambda)=n/(2lambda^2)[(Sigma x^2)/(ny^2)-lambda] $

per vedere subito che lo stimatore cercato è il nostro stimatore di MV in quanto esiste una relazione lineare fra lo stimatore e $ Z=Sigma partial/(partiallambda) log f (x, lambda)$

(si ricordi infatti che $E(Z)=0$)

:)

Con questa osservazione l'argomento mi pare sufficientemente analizzato
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