Problema di calcolo combinatorio
Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano nella risoluzione di un esercizio, che chiede quanto segue:
Quanti sono i numeri naturali di 5 cifre tali che la prima e l'ultima cifra siano uguali e la somma delle loro cinque cifre valga 14? (es. 23612 e 70007 sono numeri del tipo richiesto).
a) 67
b) 231
c) 526
d) 948
e) 1492
Ho fatto vari tentativi, ma nessuno dei miei risultati rientrava tra la risposte possibili
La prima considerazione che ho fatto è che la prima cifra non può essere uno zero (altrimenti non sarebbe un numero naturale), pertanto deve essere almeno uno: di conseguenza anche l'ultima cifra deve essere almeno uno; il problema potrebbe allora diventare quello di trovare quanti numeri di 5 cifre diano somma 12, dato che 2 "palline" sono già "bloccate nel pallottoliere" alla prima e all'ultima cifra.
Senza il vincolo dell'ultima e prima cifra uguali, avrei semplicemente utilizzato le combinazioni con ripetizione di 5 elementi presi 12 alla volta. Il risultato però è 1820, che non rientra tra le possibili risposte ed inoltre non tiene conto di quelle 2 cifre particolari.
Tra l'altro è evidente che queste due cifre possono andare da un minimo di 1 ad un massimo di 7, per il rispetto del vincolo di somma 14. Ma come faccio a tenere conto anche di questo?
Un altro problema che si pone è anche quello di evitare che le 12 palline rimanenti finiscano tutte su una cifra, e quindi ci sarebbe anche da sottrarre i casi che non vanno bene per il sistema di numerazione decimale.
Insomma, credo di aver fatto molta confusione e vi sarei grata se qualcuno mi desse una mano!:)
avrei bisogno di una mano nella risoluzione di un esercizio, che chiede quanto segue:
Quanti sono i numeri naturali di 5 cifre tali che la prima e l'ultima cifra siano uguali e la somma delle loro cinque cifre valga 14? (es. 23612 e 70007 sono numeri del tipo richiesto).
a) 67
b) 231
c) 526
d) 948
e) 1492
Ho fatto vari tentativi, ma nessuno dei miei risultati rientrava tra la risposte possibili
La prima considerazione che ho fatto è che la prima cifra non può essere uno zero (altrimenti non sarebbe un numero naturale), pertanto deve essere almeno uno: di conseguenza anche l'ultima cifra deve essere almeno uno; il problema potrebbe allora diventare quello di trovare quanti numeri di 5 cifre diano somma 12, dato che 2 "palline" sono già "bloccate nel pallottoliere" alla prima e all'ultima cifra.
Senza il vincolo dell'ultima e prima cifra uguali, avrei semplicemente utilizzato le combinazioni con ripetizione di 5 elementi presi 12 alla volta. Il risultato però è 1820, che non rientra tra le possibili risposte ed inoltre non tiene conto di quelle 2 cifre particolari.
Tra l'altro è evidente che queste due cifre possono andare da un minimo di 1 ad un massimo di 7, per il rispetto del vincolo di somma 14. Ma come faccio a tenere conto anche di questo?
Un altro problema che si pone è anche quello di evitare che le 12 palline rimanenti finiscano tutte su una cifra, e quindi ci sarebbe anche da sottrarre i casi che non vanno bene per il sistema di numerazione decimale.
Insomma, credo di aver fatto molta confusione e vi sarei grata se qualcuno mi desse una mano!:)
Risposte
Ciao Sally, provo con te ma non garantisco niente!
In casi come questi direi che si può cominciare a fare un po' di conti e vedere se salta fuori qualche regolarità da sfruttare, che ne pensi, iniziamo?
Allora proviamo quanti casi possibili abbiamo con 1 come prima e ultima cifra:
19301
19211
19121
19031
4 possibilità in tutto
18401
18311
18221
18131
18041
5 possibilità in tutto
17501
...
saranno 6 possibilità in tutto?
16601
16511
...
bene 1 come prima e 6 come seconda si tratta di vedere in quanti modi le altre due caselle danno come somma 6, ne conto 7 (60, 51, 42, 33, 24,15, 06)
vediamo se la seconda cifra è 5, conto 8 possibilità (15701, eccetera saranno 8 possibilità?)
seconda cifra 4, 9 possibilità?
Vedi un po' se ne esce qualcosa!
In casi come questi direi che si può cominciare a fare un po' di conti e vedere se salta fuori qualche regolarità da sfruttare, che ne pensi, iniziamo?
Allora proviamo quanti casi possibili abbiamo con 1 come prima e ultima cifra:
19301
19211
19121
19031
4 possibilità in tutto
18401
18311
18221
18131
18041
5 possibilità in tutto
17501
...
saranno 6 possibilità in tutto?
16601
16511
...
bene 1 come prima e 6 come seconda si tratta di vedere in quanti modi le altre due caselle danno come somma 6, ne conto 7 (60, 51, 42, 33, 24,15, 06)
vediamo se la seconda cifra è 5, conto 8 possibilità (15701, eccetera saranno 8 possibilità?)
seconda cifra 4, 9 possibilità?
Vedi un po' se ne esce qualcosa!
Intanto grazie per la risposta e per l'idea, credo di essermi avvicinata alla risposta e so quale calcolo è sbagliato (ma non so ancora perché!). Comincio dall'inizio:
Secondo il tuo ragionamento, fino a 3 come seconda cifra tutto funziona, ma quando conto le combinazioni del tipo
- 12..1
- 11..1
- 10..1
queste anziché continuare a progredire ed essere rispettivamente 11, 12 e 13 sono invece 9, 8 e 7.
Prendiamo ad esempio il caso 12..1: si tratta di definire in quanti modi 2 cifre possono dare somma 10. Utilizzo allora \(\displaystyle C(r)2,10\), che fa proprio 11.
A questi 12 casi devo però sottrarre quelli "che non vanno bene", che sono esattamente 2: il caso in cui tutte le 10 "palline" finiscano nella terza cifra e 0 nella quarta, e il caso in cui finiscano tutte nella quarta e nessuna nella terza.
Non potrò infatti avere un numero del tipo 120(10)1, perché non rispetterebbe nemmeno la numerazione decimale!
Stesso discorso vale per i casi
- 11..1
- 10..1
in cui i casi che non vanno bene sono rispettivamente 4 e 6.
Comunque, andando a contare tutti i casi del tipo 1...1, questi sono dati, come mi hai suggerito, da 4+5+6+7+8+9+10+9+8+7, cioè esattamente 73.
Il conto che mi hai portato a fare comunque mi ha avvicinata (credo) alla risposta corretta... perché il conto che avevo fatto originariamente (forse) non era del tutto sbagliato.
Infatti io avevo calcolato:
Caso 1....1 : \(\displaystyle C(r)3,12 - 9 = 82 \)
Caso 2....2 : \(\displaystyle C(r)3,10 - 3 = 63 \)
Caso 3....3 : \(\displaystyle C(r)3,8 = 45 \)
Caso 4....4 : \(\displaystyle C(r)3,6 = 28 \)
Caso 5....5 : \(\displaystyle C(r)3,4 = 15 \)
Caso 6....6 : \(\displaystyle C(r)3,2 = 6 \)
Caso 7....7 : \(\displaystyle = 1 \)
Sommando questi casi il totale è 240 (che non c'è tra le risposte corrette), ma ho notato anche che l'unico calcolo che ho sbagliato è quello del caso 1...1... infatti ho verificato grazie a te che tutti tali possibili casi sono 73, non 82!
Cioè esattamente 9 casi in meno rispetto a quelli che risultano a me: in tal modo la risposta corretta potrebbe ragionevolmente essere 231.
Per il caso 2...2 invece il mio calcolo fatto con le combinazioni con ripetizione coincide con il calcolo "alla femminina" che abbiamo fatto insieme... tutte le possibilità sono sempre 63... e così via per 3...3 ecc.
Perché allora il primo risultato non è corretto?? Non riesco a capire... E' come se a tutti quei possibili casi dovessi toglierne 18 anziché 9, ma non ne capisco la ragione!
Secondo il tuo ragionamento, fino a 3 come seconda cifra tutto funziona, ma quando conto le combinazioni del tipo
- 12..1
- 11..1
- 10..1
queste anziché continuare a progredire ed essere rispettivamente 11, 12 e 13 sono invece 9, 8 e 7.
Prendiamo ad esempio il caso 12..1: si tratta di definire in quanti modi 2 cifre possono dare somma 10. Utilizzo allora \(\displaystyle C(r)2,10\), che fa proprio 11.
A questi 12 casi devo però sottrarre quelli "che non vanno bene", che sono esattamente 2: il caso in cui tutte le 10 "palline" finiscano nella terza cifra e 0 nella quarta, e il caso in cui finiscano tutte nella quarta e nessuna nella terza.
Non potrò infatti avere un numero del tipo 120(10)1, perché non rispetterebbe nemmeno la numerazione decimale!
Stesso discorso vale per i casi
- 11..1
- 10..1
in cui i casi che non vanno bene sono rispettivamente 4 e 6.
Comunque, andando a contare tutti i casi del tipo 1...1, questi sono dati, come mi hai suggerito, da 4+5+6+7+8+9+10+9+8+7, cioè esattamente 73.
Il conto che mi hai portato a fare comunque mi ha avvicinata (credo) alla risposta corretta... perché il conto che avevo fatto originariamente (forse) non era del tutto sbagliato.
Infatti io avevo calcolato:
Caso 1....1 : \(\displaystyle C(r)3,12 - 9 = 82 \)
Caso 2....2 : \(\displaystyle C(r)3,10 - 3 = 63 \)
Caso 3....3 : \(\displaystyle C(r)3,8 = 45 \)
Caso 4....4 : \(\displaystyle C(r)3,6 = 28 \)
Caso 5....5 : \(\displaystyle C(r)3,4 = 15 \)
Caso 6....6 : \(\displaystyle C(r)3,2 = 6 \)
Caso 7....7 : \(\displaystyle = 1 \)
Sommando questi casi il totale è 240 (che non c'è tra le risposte corrette), ma ho notato anche che l'unico calcolo che ho sbagliato è quello del caso 1...1... infatti ho verificato grazie a te che tutti tali possibili casi sono 73, non 82!
Cioè esattamente 9 casi in meno rispetto a quelli che risultano a me: in tal modo la risposta corretta potrebbe ragionevolmente essere 231.
Per il caso 2...2 invece il mio calcolo fatto con le combinazioni con ripetizione coincide con il calcolo "alla femminina" che abbiamo fatto insieme... tutte le possibilità sono sempre 63... e così via per 3...3 ecc.
Perché allora il primo risultato non è corretto?? Non riesco a capire... E' come se a tutti quei possibili casi dovessi toglierne 18 anziché 9, ma non ne capisco la ragione!
Sono ignorante... cosa vuol dire calcolo "alla femminina"?
Non è ignoranza la tua, è un termine che usiamo dalle mie parti per indicare un calcolo fatto sulla mano insomma... 
E' come se anziché utilizzare la formula per calcolare la combinazione di 6 elementi 2 alla volta, mi mettessi a scrivere uno per uno tutti i casi e alla fine contassi quanti sono... è questo il senso
(che spesso è anche un'ottima verifica, come in questo caso!
)
E' come se anziché utilizzare la formula per calcolare la combinazione di 6 elementi 2 alla volta, mi mettessi a scrivere uno per uno tutti i casi e alla fine contassi quanti sono... è questo il senso
(che spesso è anche un'ottima verifica, come in questo caso!
)
[quote=Sally_]Intanto grazie per la risposta e per l'idea, credo di essermi avvicinata alla risposta e so quale calcolo è sbagliato (ma non so ancora perché!). Comincio dall'inizio:
Secondo il tuo ragionamento, fino a 3 come seconda cifra tutto funziona, ma quando conto le combinazioni del tipo
- 12..1
- 11..1
- 10..1
queste anziché continuare a progredire ed essere rispettivamente 11, 12 e 13 sono invece 9, 8 e 7.
Prendiamo ad esempio il caso 12..1: si tratta di definire in quanti modi 2 cifre possono dare somma 10. Utilizzo allora \(\displaystyle C(r)2,10\), che fa proprio 11.
Scusa ma puoi spiegarmi in modo molto semplice il calcolo che hai fatto per ottenere $C(r) 2,10=11$ ????
Secondo il tuo ragionamento, fino a 3 come seconda cifra tutto funziona, ma quando conto le combinazioni del tipo
- 12..1
- 11..1
- 10..1
queste anziché continuare a progredire ed essere rispettivamente 11, 12 e 13 sono invece 9, 8 e 7.
Prendiamo ad esempio il caso 12..1: si tratta di definire in quanti modi 2 cifre possono dare somma 10. Utilizzo allora \(\displaystyle C(r)2,10\), che fa proprio 11.
Scusa ma puoi spiegarmi in modo molto semplice il calcolo che hai fatto per ottenere $C(r) 2,10=11$ ????
\(\displaystyle C(r)2,10 \) è uguale al coefficiente binomiale 2 + 10 - 1 su 10 (mi spiace ma non riesco a scriverlo bene)... In pratica quindi è lo stesso risultato delle combinazioni semplici \(\displaystyle C11,10 \), che fa proprio 11.
ti ringrazio per la risposta....dopo averti esposto il mio dubbio ho capito....mi era venuto un vuoto di memoria per un attimo...grazie comunque
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