Problema densità discreta X+Y e XY
Ciao a tutti,
Sto preparando l' esame di Statistica e CdP e sono giunto fino al capitolo delle variabili aleatorie discrete. Ho provato a svolgere alcuni esercizi proposti dal docente e dopo aver risolto vari esercizi in cui appare solo una v.a ora mi trovo in difficoltà. Il mio problema sta nel determinare la densità discreta delle variabili aleatorie $Z = X + Y $ e $W = XY $. Nel mio caso specifico X e Y indicano gli esiti del lancio di due dadi. Sapendo la d.d delle rispettive v.a esiste qualche formula che mi dia la d.d della relazione fra queste v.a ( nel mio caso somma e prodotto)?
Sono in crisi ringrazio di cuore in anticipo chi saprà illuminarmi...
Sto preparando l' esame di Statistica e CdP e sono giunto fino al capitolo delle variabili aleatorie discrete. Ho provato a svolgere alcuni esercizi proposti dal docente e dopo aver risolto vari esercizi in cui appare solo una v.a ora mi trovo in difficoltà. Il mio problema sta nel determinare la densità discreta delle variabili aleatorie $Z = X + Y $ e $W = XY $. Nel mio caso specifico X e Y indicano gli esiti del lancio di due dadi. Sapendo la d.d delle rispettive v.a esiste qualche formula che mi dia la d.d della relazione fra queste v.a ( nel mio caso somma e prodotto)?
Sono in crisi ringrazio di cuore in anticipo chi saprà illuminarmi...
Risposte
È semplicissimo. Per prima cosa identifichi il supporto della nuova variabile. ..poi ad ogni valore associ la relativa probabilità che sarà il risultato del prodotto ed eventualmente somma delle probabilità delle marginali.
Es
$ X={1,2...6} $
$ Y={1,2....6} $
$ W=XY={1,2,3,4,5,6,8,9,10...36}$
Ora ti basta associare ad ogni valore del dominio di $ W $ la sua probabilità partendo dalle probabilità marginali di $ X $ e $ Y $
Ad esempio la probabilità che $ P (W=2)=P (X=1, Y=2)+P (X=2, Y=1)=2/36$
Ecc ecc
Es
$ X={1,2...6} $
$ Y={1,2....6} $
$ W=XY={1,2,3,4,5,6,8,9,10...36}$
Ora ti basta associare ad ogni valore del dominio di $ W $ la sua probabilità partendo dalle probabilità marginali di $ X $ e $ Y $
Ad esempio la probabilità che $ P (W=2)=P (X=1, Y=2)+P (X=2, Y=1)=2/36$
Ecc ecc
grazie per la risposta innanzitutto...
ma il mio dubbio principale è : quando mi chiedono di stabilire la d.d di Z devo stabilire la probabilità di ogni valore di Z o esiste una formula generale che lega X e Y ?
Il dubbio mi sorge perché girovagando in rete e dai miei appunti ho visto che c'è questa relazione $ sum^(k ) = p_X(i)p_Y(k-i) $ che fra l'altro non riesco a comprendere bene...
Mi scuso se le mie domande non sono chiarissime casomai le riformulo...
ma il mio dubbio principale è : quando mi chiedono di stabilire la d.d di Z devo stabilire la probabilità di ogni valore di Z o esiste una formula generale che lega X e Y ?
Il dubbio mi sorge perché girovagando in rete e dai miei appunti ho visto che c'è questa relazione $ sum^(k ) = p_X(i)p_Y(k-i) $ che fra l'altro non riesco a comprendere bene...
Mi scuso se le mie domande non sono chiarissime casomai le riformulo...
Quella formula è la convoluzione e fornisce la probabilità di ogni singolo valore di $ Z $ ovvero $P ( Z=k) $ ma solo per la somma di due variabili indipendenti.
Nell'esercizio 1 la formula semplicemente dice che
$ p_(Z)(2)=p_(X)(1) p_(Y)(1)$
$ p_(Z)(3)=p_(X)(1) p_(Y)(2)+p_(X)(2) p_(Y)(1) $
$ p_(Z)(4)=p_(X)(1) p_(Y)(3)+p_(X)(2) p_(Y)(2)+p_(X)(3) p_(Y)(1) $
ecc ecc. Per l'esercizio $ W=XY $ la formula non serve a nulla.
Il metodo che ti ho suggerito io invece funziona sempre, anche quando le variabili non sono indipendenti, ed è di immediata applicazione.
Nei casi in esame basta costruire una tabella a doppia entrata; all'interno della tabella inserisci il risultato della funzione, somma, prodotto o quant'altro e poi osservi che ogni casellina ha probabilità $1/36$...per cui ti basta contare le caselline di ogni singolo valore per avere tutta la distribuzione.
In pratica così: la tabella di sinistra si riferisce a $X+Y$ e quella di destra a $XY$
Graficamente:
ora dovrebbe essere più chiara la questione...
Nell'esercizio 1 la formula semplicemente dice che
$ p_(Z)(2)=p_(X)(1) p_(Y)(1)$
$ p_(Z)(3)=p_(X)(1) p_(Y)(2)+p_(X)(2) p_(Y)(1) $
$ p_(Z)(4)=p_(X)(1) p_(Y)(3)+p_(X)(2) p_(Y)(2)+p_(X)(3) p_(Y)(1) $
ecc ecc. Per l'esercizio $ W=XY $ la formula non serve a nulla.
Il metodo che ti ho suggerito io invece funziona sempre, anche quando le variabili non sono indipendenti, ed è di immediata applicazione.
Nei casi in esame basta costruire una tabella a doppia entrata; all'interno della tabella inserisci il risultato della funzione, somma, prodotto o quant'altro e poi osservi che ogni casellina ha probabilità $1/36$...per cui ti basta contare le caselline di ogni singolo valore per avere tutta la distribuzione.
In pratica così: la tabella di sinistra si riferisce a $X+Y$ e quella di destra a $XY$
Graficamente:
ora dovrebbe essere più chiara la questione...
Grazie mille finalmente ci capisco qualcosa...
Sono riuscito a risolvere più o meno tutto l'esercizio a parte il pezzo dove mi chiede se le v.a $W= XY $ e $Z= X - Y $ sono indipendenti (X e Y sono sempre i possibili esiti dei due dadi)...a occhio cosi mi sembra che siano dipendenti perché se so che $W = 1 $allora $Z$ non può essere sicuramente $-5$ per esp. (cioè dato che le due v.a Z e W sono dipendeti entrambe da X e Y allora esse stesse sono dipendenti l'una dall'altra )...comunque non saprei come formalizzarlo ( con la covarianza forse ?).
Grazie ancora per il vostro tempo
Sono riuscito a risolvere più o meno tutto l'esercizio a parte il pezzo dove mi chiede se le v.a $W= XY $ e $Z= X - Y $ sono indipendenti (X e Y sono sempre i possibili esiti dei due dadi)...a occhio cosi mi sembra che siano dipendenti perché se so che $W = 1 $allora $Z$ non può essere sicuramente $-5$ per esp. (cioè dato che le due v.a Z e W sono dipendeti entrambe da X e Y allora esse stesse sono dipendenti l'una dall'altra )...comunque non saprei come formalizzarlo ( con la covarianza forse ?).
Grazie ancora per il vostro tempo
Ovviamente le variabili $ Z, W $ sono dipendenti essendo costruite entrambe partendo dalle stesse $ X, Y $.
Per dimostrarlo devi usare la definizione di indipendenza. La covarianza? No, no se pol...misura la correlazione fra le variabili non la dipendenza stocastica.
$ X; Y $ sono indipendenti se e solo se
$ p_(XY)(x, y)=p_(X)(x) p_(Y)(y) $ $ AAx, y $
Oppure analogamente
$ p (x|y)=p (x) $
Basta che trovi un caso in cui rali relazioni non valgano...hai solo l'imbarazzo della scelta
Es: $ W=XY $ ; $ Z=X+Y $ (non so perche nell'ultimo post hai scritto $ Z=X-Y $ invece di $ X+Y $ come nel testo iniziale; in ogni caso il concetto non cambia)
$ P (W=1)=1/36$ ma $ P (W=1|Z=2)=1$
Quindi il verificarsi di z modifica la probabilità di w -> variabili dipendenti
Per dimostrarlo devi usare la definizione di indipendenza. La covarianza? No, no se pol...misura la correlazione fra le variabili non la dipendenza stocastica.
$ X; Y $ sono indipendenti se e solo se
$ p_(XY)(x, y)=p_(X)(x) p_(Y)(y) $ $ AAx, y $
Oppure analogamente
$ p (x|y)=p (x) $
Basta che trovi un caso in cui rali relazioni non valgano...hai solo l'imbarazzo della scelta
Es: $ W=XY $ ; $ Z=X+Y $ (non so perche nell'ultimo post hai scritto $ Z=X-Y $ invece di $ X+Y $ come nel testo iniziale; in ogni caso il concetto non cambia)
$ P (W=1)=1/36$ ma $ P (W=1|Z=2)=1$
Quindi il verificarsi di z modifica la probabilità di w -> variabili dipendenti
Ti ringrazio
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