Problema con PDF
Salve a tutti. Ho dei problemi nel capire un esercizio svolto sul mio libro di testo. Cerco di spiegarlo brevemente:
Ho un trasmettitore posto in un punto S ed un ricevitore posto in un punto R ad una certa distanza aleatoria D.Il dominio in cui si lavora è una corona circolare di raggi $r_1,r_2$. Devo calcolare la densità di probabilità $f_p(p)$ della potenza del segnale ricevuto.
Sul mio libro c'è scritto inoltre di supporre che la posizione del ricevitore R sia distribuita uniformemente e questo mi fa pensare di fare riferimento ad una variabile aleatoria che già conosco ed è la variabile uniforme.
Poi mi dice che la PDf è : $f_(XY)(x,y)=1/(\pi(r_2^2-r_1^2))$.
Non capisco come sia arrivato a questa conclusione. Sareste cosi gentili da aiutarmi a capire?
Io so che la PDF congiunta è : $f_(XY)(x,y)=(partial ^2 F_(XY))/(partial xpartial y)$
e che la distribuzione di una v.a. uniforme è $F_X = (x-a)/(b-a)$.
Come faccio ad estenderla al caso di una coppia di vv.aa.?? Aiutatemi vi prego.
P. S. ragionando io dovrei fare $F_(XY)=int_(-infty)^(x)int_(-infty)^(y) f_(XY)(\alpha,\beta) d\alpha d\beta$
Ma siccome il dominio è $D={X^2+Y^2<=R'}$ con $R'=r_2-r_1$ allora avrò:
$F_(XY)=1/(\pi(r_2^2-r_1^2)) int_(0)^(x)int_(0)^(y) dx dy= 1/(\pi(r_2^2-r_1^2)) xy$
E' giusto o sbaglio qualcosa?
Ho un trasmettitore posto in un punto S ed un ricevitore posto in un punto R ad una certa distanza aleatoria D.Il dominio in cui si lavora è una corona circolare di raggi $r_1,r_2$. Devo calcolare la densità di probabilità $f_p(p)$ della potenza del segnale ricevuto.
Sul mio libro c'è scritto inoltre di supporre che la posizione del ricevitore R sia distribuita uniformemente e questo mi fa pensare di fare riferimento ad una variabile aleatoria che già conosco ed è la variabile uniforme.
Poi mi dice che la PDf è : $f_(XY)(x,y)=1/(\pi(r_2^2-r_1^2))$.
Non capisco come sia arrivato a questa conclusione. Sareste cosi gentili da aiutarmi a capire?
Io so che la PDF congiunta è : $f_(XY)(x,y)=(partial ^2 F_(XY))/(partial xpartial y)$
e che la distribuzione di una v.a. uniforme è $F_X = (x-a)/(b-a)$.
Come faccio ad estenderla al caso di una coppia di vv.aa.?? Aiutatemi vi prego.
P. S. ragionando io dovrei fare $F_(XY)=int_(-infty)^(x)int_(-infty)^(y) f_(XY)(\alpha,\beta) d\alpha d\beta$
Ma siccome il dominio è $D={X^2+Y^2<=R'}$ con $R'=r_2-r_1$ allora avrò:
$F_(XY)=1/(\pi(r_2^2-r_1^2)) int_(0)^(x)int_(0)^(y) dx dy= 1/(\pi(r_2^2-r_1^2)) xy$
E' giusto o sbaglio qualcosa?
Risposte
Se la PDF congiunta è uniformemente distribuita sulla corona di raggi $r_(2)>r_(1)$
significa che
$pi(r_(2)^2-r_(1)^2)\cdotk=1$
e quindi k, ovvero $f_(x,y)=1/(pi(r_(2)^2-r_(1)^2)$
significa che
$pi(r_(2)^2-r_(1)^2)\cdotk=1$
e quindi k, ovvero $f_(x,y)=1/(pi(r_(2)^2-r_(1)^2)$
Allora credo di aver capito che si parla della proprietà di normalizzazione e fin qui nessun dubbio. Una v.a. è uniforme su un intervallo se la PDF è costante su intervallo. In questo caso particolare devo interpretare la definizione nel caso in cui tale intervallo non è un intervallo vero e proprio ma l'area della corona circolare? Se è cosi mi trovo concettualmente ma come faccio a dirlo analiticamente? Potresti scrivere i passaggi analitici del tuo risultato? Grazie della risposta.
la variabile uniforme bidimensionale è una funzione costante su tutto il dominio $D$. Per essere una funzione di densità devono valere le solite proprietà:
$f(x,y)>=0$
$intint_(D)f(x,y)dxdy=1$
essendo la variabile uniforme non è necessario usare gli integrali doppi ma basta calcolare "l'altezza" del solido con base pari alla porzione di piano definita dal dominio.
quindi nel tuo caso $f(x,y)=1/D=1/(pi(r_(2)^2-r_(1)^2)$. Quindi:
$f_(XY)(x,y)={{: ( 1/(pi(r_(2)^2-r_(1)^2)) , ;(x;y) in D ),( 0 , ; al tr o ve ) :}$
tutto qui
$f(x,y)>=0$
$intint_(D)f(x,y)dxdy=1$
essendo la variabile uniforme non è necessario usare gli integrali doppi ma basta calcolare "l'altezza" del solido con base pari alla porzione di piano definita dal dominio.
quindi nel tuo caso $f(x,y)=1/D=1/(pi(r_(2)^2-r_(1)^2)$. Quindi:
$f_(XY)(x,y)={{: ( 1/(pi(r_(2)^2-r_(1)^2)) , ;(x;y) in D ),( 0 , ; al tr o ve ) :}$
tutto qui
Ti ringrazio mille volte. Ho capito adesso come ragionare 
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