Problema con monete truccate e non

[yamkopp]

Salve,

sarei interessato alla soluzione del seguente quesito.
In un sacchetto vi sono 9 monete di cui 4 truccate e 5 non truccate. Quelle truccate hanno una probabilità di far uscire testa pari a 0.80. Qual è la probabilità di ottenere 2 teste ed una croce?
Usando il teorema della probabilità totale la soluzione dovrebbe essere:
$ P = (5/9) * 3 * 0.5^3 + (4/9) * 3 * 0.8^2 * 0.2 $

cioè ho immaginato di partizionare l'evento nell'estrazione delle monete non truccate e di quelle truccate.
Tuttavia temo che la soluzione non sia corretta perché la simulazione tramite un programma in python, su cui confido maggiormente, fornisce un risultato differente. Gradirei un parere in merito.
Sarei curioso di sapere come si sarebbe dovuto risolvere il problema senza fare uso del teorema della probabilità totale.

Grazie,
Luigi

[Intermat]

Data l'ora gli ho dato solo una occhiata...
Se definisco questi tre eventi:

$A={text(esce testa)}$
$B={text(moneta truccata)} $
$C={text(escono due teste e una croce)} $

Con il teorema della probabilità totale calcoli $P(A)$:

$P(A)=P(A|B)*P(B)+P(A|bar(B))*P(bar(B)) $

E quindi la probabilità $P(C)$:

$P(C)=((3), (2)) *[P(A)]^2*[1-P(A)] $

In questo caso i valori noti sarebbero:

$P(B)=4/9 $
$P(A|B)=0.8 $
$P(A|bar(B))=0.5 $
$P(bar(B))=5/9$

Spero che il sonno non mi abbia fatto dire stupidate...

[superpippone]

Anche se non l'hai esplicitamente detto, ritengo che tu voglia intendere "...prendendo a caso 3 monete dal sacchetto....".
Prendendo a caso 3 monete hai probabilità di acchiappare:
Tre truccate $4/9*3/8*2/7=24/504$
Due truccate e una equa $5/9*4/8*3/7*3=180/504$
Una truccata e due eque $5/9*4/8*4/7*3=240/504$
Tre eque $5/9*4/8*3/7=60/504$
Allora se sono tutte e tre eque, la probabilità che escano 2 teste ed una croce è $60/504*0,5^3*3$
Se sono tutte e tre truccate la probabilità è $24/504*0,8^2*0,2*3$
Se sono due eque ed una truccata la probabilità è $240/504*(0,5^2*0,2+0,5^2*0,8*2)$
Se sono due truccate ed una equa la probabilità è $180/504*(0,5*0,8^2+0,5*0,8*0,2*2)$
Ti calcoli le quattro probabilità parziali, fai la somma dei quattro risultati ed avrai la probabilità da te cercata.

[Intermat]

Ho riguardato l'esercizio...e non mi torna il tuo conto delle probabilità di pescare le monete truccate o meno. Come ti esce quel risultato?

[superpippone]

Guarda che i conti tornano, perchè:
$(24+180+240+60)/504=504/504=1$

[Intermat]

Abbiamo interpretato il testo in modo diverso...tu hai considerato come se non venissero reinserite le monete mentre io si. Dal testo non si capisce quale sia l'interpretazione corretta. Inoltre rileggendo la domanda ho notato che veniva richiesto di risolverlo senza la probabilità totale.

[superpippone]

Se c'è il reinserimento le probabilità sono le seguenti:
Tre truccate $64/729$
Due truccate ed 1 equa $240/729$
Una truccata e due eque $300/729$
Tre eque $125/729$.
Nella seconda parte della mia soluzione si sostituiscono i valori precedenti con questi, ed il gioco è fatto.
Per quanto riguarda "risolvere il problema senza utilizzare la proprietà totale", non vedo come si possa fare....

[Intermat]

Forse "senza usare la probabilità totale" vuol dire fare come hai risolto tu...ovvero considerare i singoli casi senza calcolare la probabilità attraverso la formula...

[yamkopp]

"Intermat":Abbiamo interpretato il testo in modo diverso...tu hai considerato come se non venissero reinserite le monete mentre io si. Dal testo non si capisce quale sia l'interpretazione corretta. Inoltre rileggendo la domanda ho notato che veniva richiesto di risolverlo senza la probabilità totale.

Intanto ringrazio tutti per le numerose risposte. In effetti il testo non specifica la modalità di estrazione. Lo avevo fatto, poi è scaduta la sessione, e nella seconda frettolosa stesura è saltato un passo essenziale.
Manca in effetti il pezzo "...prendendo a caso 3 monete dal sacchetto....". Quindi, ne prendete tre a caso e le lanciate una alla volta. Nella mia simulazione dell'esperimento (se interessa il codice in python posso postarlo) vengono generati dei campioni delle nove monete. Il programma fornisce una probabilità che a 100000 lanci è 0.44721.
Chi lo ha risolto immaginando che ogni moneta venisse rimessa nel sacchetto ha risolto un altro problema ma altettanto interessante (almeno per me )
La richiesta di risolverlo senza il teorema della probabilità totale (se possibile) era per una questione di natura, diciamo, didattica. Il teorema è lì e semplifica la soluzione quando, almeno concettualmente, si riesce a partizionare lo spazio campionario. Ma rimangono pur sempre le tecniche basilari. Confrontando i due metodi e vedere come arrivano allo stesso risultato dovrebbe essere illuminante. Il problema originale che mi ha ispirato quel quesito parlava di un maggior numero di monete complessive e di truccate e se ne lanciavano cinque. L'ho sotto dimensionato per consentire una più semplice enumerazione dei casi.
Ora vado a rileggere le vostre risposte.
Di nuovo grazie,
Luigi

[superpippone]

Ti ringrazio per i ringraziamenti, ma ti faccio notare che "tutti" (almeno finora)si riduce a 2 persone solamente.
Non siamo proprio stati in tanti....
Comunque nel caso dell'estrazione senza reinserimento la probabilità totale è:
$(22,5+9,216+108+86,4)/504=(226,116)/504=0,44864$

[yamkopp]

"superpippone":Ti ringrazio per i ringraziamenti, ma ti faccio notare che "tutti" (almeno finora)si riduce a 2 persone solamente.
Non siamo proprio stati in tanti....
Comunque nel caso dell'estrazione senza reinserimento la probabilità totale è:
$(22,5+9,216+108+86,4)/504=(226,116)/504=0,44864$

Ringrazio nuovamente Superpippone e Intermat.
La risposta di Superpippone è quella cercata ed è esatta (la simulazione a $10^7$ lanci è 0.4485627).
Anche quella di Intermat è corretta se c'è reinserimento.

Vi rubo ancora un minuto per spiegare la genesi del problema e del mio marchiano errore giacché potrebbe essere utile a qualche studente in ascolto.
Il problema originario, visto su un video inglese di youtube, aveva più monete tra truccate e non e cercava qualcosa tipo probabilità di ottenere 4teste su sei lanci. La sua spiegazione non mi convinceva. Ho riscalato il problema con numeri più piccoli e ripetuto i calcoli da lui fatti (nel problema che ha aperto il thread) ed impostato la simulazione con risultati rivelatisi divergenti. Voi mi avete confermato che la soluzione analitica è errata.
Poco fa ho ritrovato quel video ed ascoltandolo ad alto volume capisco che lui stava risolvendo un problema diverso!
Estraeva UNA SOLA moneta e poi la lanciava 6 volte. Quindi la soluzione che ho postato si riferiva proprio a questo tipo di esperimento e che, evidentemente, non aveva nulla a che fare col suo enunciato frutto di un mio errore di comprensione.

Il nostro problema era più complicato. Le tre estrazioni senza reinserimento non mi pare permettano di ottenere delle banali partizioni e la formula della probabilità totale non trova una facile applicazione (per lo meno io non ci sono riuscito).
Mi riprometto di frequentare questo forum più spesso.

Luigi