Problema con la probabilità totale

[galaxymaster]

Ciao a tutti, ho un problema che ho provato a risolvere ma non avendo i risultati a disposizione, non so se la mia soluzione sia giusta o meno.
PROBLEMA
L'orafo A realizza 1000 sferette d'oro da un lingotto di 9.5 kg di massa, mentre l'orafo B ne realizza 1000 da un lingotto di 9.8 kg.
La distribuzione delle masse delle sferette è normale per entrambi i campioni. Il campione A ha 377 sferette con Massa compresa tra il valore medio e 10.08 g, mentre il campione B ne ha 475 con massa compresa tra il valore medio e 10.976 g.
Qual è la probabilità che, prendendo a caso una sferette da entrambi i campioni, la massa della sferette prelevata da A sia maggiore della massa di quella prelevata da B?

Io ho ragionato così: ho trovato il valore medio di entrambi (per definire gli estremi inferiori degli intervalli di entrambi i campioni) ovvero $ bar(x_A) = (9.5/1000)= 9.5 g $ e $ bar(x_B) = (9.8/1000)= 9.8 g $ , poi ho trovato il valore medio all'interno dei due campioni $ bar(c_A) = 9.79 $ e $ bar(c_B) = 10.388 $ , di conseguenza ora so che le 377 sferette di A sono distribuite nell'intervallo $ (9.79-0.29, 9.79+0.29) $ e quelle di B in $ (10.388-0.588, 10.388+0.588) $ .
Adesso per avere la probabilità di pescare una sferetta A maggiore di B devo calcolarmi la probabilità di pescare nello stesso range ovvero nell'intervallo $ (9.8, 10.08) $ perché se pesco da 9.8 in giù nel campione A ho la certezza che $ AA nel secondo campione per lo stesso motivo. Quindi la probabilità di pescare A Può andare come ragionamento?

[Lo_zio_Tom]

"galaxymaster":.
Può andare come ragionamento?

No, per nulla. E' un ragionamento confuso e con diversi errori concettuali.


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Molto più semplicemente e correttamente, basta fare così:

Dai dati del problema puoi facilmente verificare che la distribuzione delle sferette di A e B sono le seguenti:

$A~N(9.5;0.25)$

$B~N(9.8;0.36)$

a questo punto (il testo non lo dice ma per forza occorre imporrre l'ipotesi di indipendenza delle due distribuzioni....) sappiamo anche che la variabile $W=(A-B)~N(-0.3;0.61)$

e quindi per rispondere al quesito

$P(A>B)=P(W>0)=P(Z>(0+0.3)/sqrt(0.61))=P(Z>0.384)~=0.35$


ti piace così?

[galaxymaster]

Potresti spiegarmi per favore come hai ottenuto le due deviazioni standard 0.25 e 0.36 e perché hai impostato la variabile W come differenza di A e B?

[Lo_zio_Tom]

0.26 e 0.36 OVVIAMENTE non sono le due deviazioni std ma le due varianze. Infatti si scrive $N(mu;sigma^2)$ intendendo variabile aleatoria normale di media $mu$ e varianza $sigma^2$, come puoi anche controllare sui Testi Sacri



Le due deviazioni std sono 0.5 e 0.6, rispettivamente

le ho ottenute sfruttando i dati del problema....ti dice che, ad esempio per A, 377 sfere su 1000 sono comprese in un certo intervallo......quindi basta poco:

"galaxymaster":
La distribuzione delle masse delle sferette è normale per entrambi i campioni.

Il campione A ha 377 sferette con Massa compresa tra il valore medio e 10.08 g,

il campione B ne ha 475 con massa compresa tra il valore medio e 10.976 g.

espresso in numeri ciò significa che, per la variabile A, abbiamo:

$Phi_(9,5; sigma^2)(10.08)-Phi_(9,5; sigma^2)(9,5)=0.377$

$Phi_(9,5; sigma^2)(10,08)=0.877$

$(10,08-9,5)/sigma=1,16 rarr sigma=0.50$

stesso ragionamento per l'altra variabile

perché ho impostato $W=A-B$???

il testo chiede la probabiltà $P(A>B)=P(A-B>0)$

...se conosco la distribuzione di A-B ho risolto....non trovi?

[galaxymaster]

Si perfetto ho capito tutto, ti ringrazio mi sono complicato la vita inutilmente con tutti quei ragionamenti