Problema con estrazione di almeno due biglie
Salve a tutti sono nuovo di questo bellissimo forum, come primo post volevo proporvi un esercizio di calcolo combinatorio :
Si facciano tre estrazioni senza reintegro da un'urna contenente 5 biglie rosse, 3 biglie
bianche e 4 biglie nere. Si calcolino le probabilita degli eventi:
A: estrazione di due biglie rosse e di una bianca,
B: estrazione di almeno due biglie nere.
Il punto A è facilmente verificabile :
i casi da considerare sono [tex]\frac{3!}{2!} = 3[/tex] ;
Quindi avrò che [tex]P(A)[/tex] sarà :
[tex]P(A) = 3 * \left( \frac{4}{12} \frac{5}{11} \frac{3}{10} \right) = \frac{9}{121}[/tex]
Il mio problema è il punto B, in quanto non riesco a verificare la probabilità di almeno due biglie nere. Qualcuno può aiutarmi a capire il metodo per risolvere questo tipo di problema?
Si facciano tre estrazioni senza reintegro da un'urna contenente 5 biglie rosse, 3 biglie
bianche e 4 biglie nere. Si calcolino le probabilita degli eventi:
A: estrazione di due biglie rosse e di una bianca,
B: estrazione di almeno due biglie nere.
Il punto A è facilmente verificabile :
i casi da considerare sono [tex]\frac{3!}{2!} = 3[/tex] ;
Quindi avrò che [tex]P(A)[/tex] sarà :
[tex]P(A) = 3 * \left( \frac{4}{12} \frac{5}{11} \frac{3}{10} \right) = \frac{9}{121}[/tex]
Il mio problema è il punto B, in quanto non riesco a verificare la probabilità di almeno due biglie nere. Qualcuno può aiutarmi a capire il metodo per risolvere questo tipo di problema?
Risposte
prova a passare al complementare per il punto B, vedrai che i conti sono più semplici 
"fu^2":
prova a passare al complementare per il punto B, vedrai che i conti sono più semplici
Ci ho provato ma purtroppo non ci riesco !
. Praticamente avevo pensato che il complementare fosse non avere biglie nere ma non riesco proprio ad impostare la cosa! avevo anche pensato di usare il risultato del punto A ma nulla, non so proprio che fare 
PS : è corretto il punto A? mi vengono dubbi in continuazione
"zizzà":
è corretto il punto A?
Sei sicuro che hai fatto bene le semplificazioni ? Non vedo come possa uscire 121 al denominatore..
Per il punto B, almeno due nere, io vedrei 3 possibilità (incompatibili): 3 nere, 2 nere e una rossa, 2 nere e una bianca.
Le estrazioni sono senza reinserimento, quindi potresti usare il modello ipergeometrico.
"cenzo":
Sei sicuro che hai fatto bene le semplificazioni ? Non vedo come possa uscire 121 al denominatore..
Hai pienamente ragione, è un errore di calcolo, credimi sto studiando da un bel pò
, cmq il risultato di $P(A)$ è $3/22$. "cenzo":
Per il punto B, almeno due nere, io vedrei 3 possibilità (incompatibili): 3 nere, 2 nere e una rossa, 2 nere e una bianca.
Le estrazioni sono senza reinserimento, quindi potresti usare il modello ipergeometrico.
Mi è chiaro il modello ipergeometrico ma come faccio a considerare le 3 possibilità che tu hai detto?
Io ho posto :
$N=12$, numero degli oggetti nell'urna
$ni=4$, numero delle palline nere
$N-ni=8$, numero delle palline non nere
$nj=3$, numero delle estrazioni
$x=2$, almeno due palline
Così va bene? Oppure devo considerare tutto questo anche per il caso $3$ nere?
Spero vada bene, comunque grazie per l'aiuto che mi stai dando.
Ciao, intendevo di usare lo schema ipergeometrico per ciacuno dei 3 casi (separatamente): NNN, NNR, NNB.
Ad esempio puoi calcolare $P("NNR")$ come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.
I casi possibili sono tutti i modi di estrarre 3 palline dalle 12 nell'urna.
Per i casi favorevoli sappiamo che estraiamo 2 nere tra le 4 disponibili e una rossa tra le 5 disponibili (ovviamente zero bianche tra le 3).
Analogo ragionamento per calcolare la probabilità gli altri due casi NNN e NNB.
Ad esempio puoi calcolare $P("NNR")$ come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.
I casi possibili sono tutti i modi di estrarre 3 palline dalle 12 nell'urna.
Per i casi favorevoli sappiamo che estraiamo 2 nere tra le 4 disponibili e una rossa tra le 5 disponibili (ovviamente zero bianche tra le 3).
Analogo ragionamento per calcolare la probabilità gli altri due casi NNN e NNB.
Buongiorno cenzo...quindi alla fine devo considerare i tre casi separati utilizzando il modello ipergeometrico...
casi possibili : $220$
casi favorevoli NNR = $((4*3)/2)*5 = 30$
casi favorevoli NNB = $((4*3)/2)*3 = 18$
casi favorevoli NNN = $((4*3)/2)*2 = 12$
Poi ogni caso favorevole si ripresenta 3 volte giusto? quindi devo moltiplicare per $3$ i risultati ottenuti e dopo ancora dividere per $220$ ovvero i casi possibili.Quindi:
$P(N NR)$ = $3*30/220 = 9/22$
$P(N NB)$ = $3*18/220 = 27/110$
$P(N N N)$ = $3*12/220 = 18/110$
Se fin qui è tutto fatto bene, per calcolare la probabilità totale devo calcolare il prodotto di questi 3 casi separati?
casi possibili : $220$
casi favorevoli NNR = $((4*3)/2)*5 = 30$
casi favorevoli NNB = $((4*3)/2)*3 = 18$
casi favorevoli NNN = $((4*3)/2)*2 = 12$
Poi ogni caso favorevole si ripresenta 3 volte giusto? quindi devo moltiplicare per $3$ i risultati ottenuti e dopo ancora dividere per $220$ ovvero i casi possibili.Quindi:
$P(N NR)$ = $3*30/220 = 9/22$
$P(N NB)$ = $3*18/220 = 27/110$
$P(N N N)$ = $3*12/220 = 18/110$
Se fin qui è tutto fatto bene, per calcolare la probabilità totale devo calcolare il prodotto di questi 3 casi separati?
"zizzà":
i tre casi separati utilizzando il modello ipergeometrico...
casi possibili : $220$
casi favorevoli NNR = $((4*3)/2)*5 = 30$
casi favorevoli NNB = $((4*3)/2)*3 = 18$
Fin qui mi sembra giusto.
"zizzà":Qui non mi trovo. I casi favorevoli sono tutti i modi di estrarre 3 palline nere dalle 4 disponibili, quindi le combinazioni $((4),(3))=4$
casi favorevoli NNN = $((4*3)/2)*2 = 12$
"zizzà":
Poi ogni caso favorevole si ripresenta 3 volte giusto? quindi devo moltiplicare per $3$ i risultati ottenuti
Direi che il conto fatto prima è già corretto. Perchè vuoi moltiplicare ancora per 3 ?
"zizzà":
per calcolare la probabilità totale devo calcolare il prodotto di questi 3 casi separati?
I tre casi sono incompatibili, quindi puoi sommare le 3 probabilità (oppure sommi i casi favorevoli - è lo stesso).
ciao cenzo, ho parlato con un mio amico che ha già fatto questo esame e mi ha dato la soluzione, lui considera solo due casi NNR e NNB ed usa la probabilità classica, te la posto così controlli anche tu:
$P(N N R) = (4/12*3/11*5/10)*3=3/22$
$P(N N B) = (4/12*3/11*3/10)*3=9/110$
$P(B) = 3/22+9/110=12/55$
è giusto così????
$P(N N R) = (4/12*3/11*5/10)*3=3/22$
$P(N N B) = (4/12*3/11*3/10)*3=9/110$
$P(B) = 3/22+9/110=12/55$
è giusto così????
Ciao, è giusto anche così. Sono due approcci diversi per calcolare le stesse probabilità.
Il tuo approccio (del tuo amico) è quello di usare la probabilità condizionata.
Io stavo ragionando in termini di rapporto casi favorevoli/casi possibili.
Ma otteniamo gli stessi risultati: $P(N N R) = (4/12*3/11*5/10)*3=3/22$ è uguale a $"#fav"/"#poss"=30/220$
$P(N N B) = (4/12*3/11*3/10)*3=9/110$ è uguale a $"#fav"/"#poss"=18/220$
L'esercizio però chiede la probabilità di avere almeno due biglie nere.
Io interpreto "almeno due" come "due o più".
Esaminando i casi NNR e NNB hai considerato, al momento, solo la possibilità di avere due e solo due biglie nere.
Ti resta ancora da esaminare il caso di estrarre 3 biglie nere, ovvero NNN.
Ovviamente non c'è il caso 4 biglie nere poichè di biglie dall'urna ne estrai solo 3.
Il tuo approccio (del tuo amico) è quello di usare la probabilità condizionata.
Io stavo ragionando in termini di rapporto casi favorevoli/casi possibili.
Ma otteniamo gli stessi risultati: $P(N N R) = (4/12*3/11*5/10)*3=3/22$ è uguale a $"#fav"/"#poss"=30/220$
$P(N N B) = (4/12*3/11*3/10)*3=9/110$ è uguale a $"#fav"/"#poss"=18/220$
L'esercizio però chiede la probabilità di avere almeno due biglie nere.
Io interpreto "almeno due" come "due o più".
Esaminando i casi NNR e NNB hai considerato, al momento, solo la possibilità di avere due e solo due biglie nere.
Ti resta ancora da esaminare il caso di estrarre 3 biglie nere, ovvero NNN.
Ovviamente non c'è il caso 4 biglie nere poichè di biglie dall'urna ne estrai solo 3.
Per quanto riguarda sia il punto A che il punto B xke moltiplichiamo sempre per 3???Non riesco a capire :S!
Cioè dove esce fuori questo 3, dove prendiamo 3!/2! (nel primo post vengono chiamati casi da considerare)???
Inoltre il punto P(A) quando l'estrazione deve essere di due biglie rosse e di una bianca, non si dovrebbe fare lo stesso ragionamento del punto B, quindi P(RRB)= 3*(5/12 * 4/11 * 3/10).....ho molte confusioni....se per favore potete darmi qualche delucidazione :S
Cioè dove esce fuori questo 3, dove prendiamo 3!/2! (nel primo post vengono chiamati casi da considerare)???
Inoltre il punto P(A) quando l'estrazione deve essere di due biglie rosse e di una bianca, non si dovrebbe fare lo stesso ragionamento del punto B, quindi P(RRB)= 3*(5/12 * 4/11 * 3/10).....ho molte confusioni....se per favore potete darmi qualche delucidazione :S
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