Problema con esercizio
spero qualcuno di voi possa aiutarmi a capire dove sto sbagliando...
ho due variabili casuali la cui densità congiunta è cosi definita
$f(x,y) = 1/6$ se (x,y) appartegono al rettangolo R1 di vertici (0,0)(1,0)(1,2)(0,2)
$f(x,y) = 1/3$ se (x,y) appartegono al rettangolo R2 di vertici (2,0)(3,0)(3,2)(2,2)
sia $Z=Y+2X$ calcolarne la funzione di ripartizione.
ho iniziato disegnando la retta
y=z-2x
per cui la regione del piano che rispetta l'equazione y+2x<=z passa sotto la retta y=z-2x
se z>8 certamente F(z) = 1 in quanto l'area della regione sottostante y=z-2x copre entrambi R1 e R2 quindi costituisce l'evento certo di probabilità 1.
poi ho iniziato a guardare quanto varrebbe F(z) in R1, ed ho individuato che:
se 0<=z<=2
allora calcolando $\int_(y=0)^(z)\int_(x=0)^(z/2)1/6dxdy$
svolgendo i calcoli risulta $(z^2)/12$
ma la soluzione giusta riportata dal libro è $1/6z^2$
naturalmente poi mi sono fermato perchè non riuscivo a venirne a capo
qualcuno di voi riesce a capire che cosa sto sbagliando??
grazie a tutti per eventuali interventi
ho due variabili casuali la cui densità congiunta è cosi definita
$f(x,y) = 1/6$ se (x,y) appartegono al rettangolo R1 di vertici (0,0)(1,0)(1,2)(0,2)
$f(x,y) = 1/3$ se (x,y) appartegono al rettangolo R2 di vertici (2,0)(3,0)(3,2)(2,2)
sia $Z=Y+2X$ calcolarne la funzione di ripartizione.
ho iniziato disegnando la retta
y=z-2x
per cui la regione del piano che rispetta l'equazione y+2x<=z passa sotto la retta y=z-2x
se z>8 certamente F(z) = 1 in quanto l'area della regione sottostante y=z-2x copre entrambi R1 e R2 quindi costituisce l'evento certo di probabilità 1.
poi ho iniziato a guardare quanto varrebbe F(z) in R1, ed ho individuato che:
se 0<=z<=2
allora calcolando $\int_(y=0)^(z)\int_(x=0)^(z/2)1/6dxdy$
svolgendo i calcoli risulta $(z^2)/12$
ma la soluzione giusta riportata dal libro è $1/6z^2$
naturalmente poi mi sono fermato perchè non riuscivo a venirne a capo
qualcuno di voi riesce a capire che cosa sto sbagliando??
grazie a tutti per eventuali interventi
Risposte
... ma se il problema é di dave03, saranno pure ca##i suoi, no?!
Ti dò una mano solo se rinunci a quella frase incomprensibilmente irrispettosa verso il Padre dell'Analisi.
E' vero, era un conservatore, un aristocratico, un egocentrico, ... ma ha fatto cose sublimi!
Ti dò una mano solo se rinunci a quella frase incomprensibilmente irrispettosa verso il Padre dell'Analisi.
E' vero, era un conservatore, un aristocratico, un egocentrico, ... ma ha fatto cose sublimi!
"seascoli":
... ma se il problema é di dave03, saranno pure ca##i suoi, no?!
Ti dò una mano solo se rinunci a quella frase incomprensibilmente irrispettosa verso il Padre dell'Analisi.
E' vero, era un conservatore, un aristocratico, un egocentrico, ... ma ha fatto cose sublimi!
bellissima sta risposta, mi ricorda qualcuno
comunque tolgo immediatamente il vile vituperio nei confronti di Cauchy
Va bene, più tardi ti invierò una traccia di soluzione ...
Devo prima fare una figura che rappresenti esattamente il tuo problema.
See you later....
Devo prima fare una figura che rappresenti esattamente il tuo problema.
See you later....
io, sinceramente, l'avevo interpretato in sto modo qua (abbiate pietà per il disegno puerile):
i due rettangoli costituiscono il dominio congiunto di X e Y, quindi se traccio la funzione Z=Y+2X devo calcolare le arree delle "sezioni" di dominio congiunto di X e Y che si trovano sotto la retta di funzione y=z-2x
se poi ho capito na idiozia, che peste mi colga
i due rettangoli costituiscono il dominio congiunto di X e Y, quindi se traccio la funzione Z=Y+2X devo calcolare le arree delle "sezioni" di dominio congiunto di X e Y che si trovano sotto la retta di funzione y=z-2x
se poi ho capito na idiozia, che peste mi colga
No, hai capito benissimo.
L'unica cosa che manca nella figura sono le intersezioni della retta obliqua con gli assi, che sono $(z/2, 0)$ e $(0,z)$.
Quindi il triangolo di cui devi calcolare l'area, almeno fino a che $z=2$, è semplicemente
$F(z) = 1/2 xx z xx z/2 = z^2/4$ per $0<=z<=2$, dove $F(z)$ è la funz. di ripartiz. della v.a. $Z$
E un quarto dell'esercizio è fatto!
Perchè un quarto? Mi sai dire fino a quale valore di $z$ occorre calcolare?
Cioè il valore di $z$ oltre il quale risulta sempre $F(z)=1$ ?
PS: Per ora lasciamoli stare, gli integrali. Come diceva il saggio Ockam:
"Entia multiplicanda non sunt praeter necessitatem".
Questo si chiama "il criterio del rasoio di Ockam", cioè :
" ... se posso usare un filo d'erba per fare una cosa, perché scomodare un'intera foresta?"
Quindi, almeno per ora, col tuo "rasoio" taglia via tutto ciò che è superfluo e otterrai la tua soluzione nel modo più economico ed elegante. Poi, se vuoi, ci torniamo ai tuoi viscidi integrali doppi!
L'unica cosa che manca nella figura sono le intersezioni della retta obliqua con gli assi, che sono $(z/2, 0)$ e $(0,z)$.
Quindi il triangolo di cui devi calcolare l'area, almeno fino a che $z=2$, è semplicemente
$F(z) = 1/2 xx z xx z/2 = z^2/4$ per $0<=z<=2$, dove $F(z)$ è la funz. di ripartiz. della v.a. $Z$
E un quarto dell'esercizio è fatto!
Perchè un quarto? Mi sai dire fino a quale valore di $z$ occorre calcolare?
Cioè il valore di $z$ oltre il quale risulta sempre $F(z)=1$ ?
PS: Per ora lasciamoli stare, gli integrali. Come diceva il saggio Ockam:
"Entia multiplicanda non sunt praeter necessitatem".
Questo si chiama "il criterio del rasoio di Ockam", cioè :
" ... se posso usare un filo d'erba per fare una cosa, perché scomodare un'intera foresta?"
Quindi, almeno per ora, col tuo "rasoio" taglia via tutto ciò che è superfluo e otterrai la tua soluzione nel modo più economico ed elegante. Poi, se vuoi, ci torniamo ai tuoi viscidi integrali doppi!
Scusa, ho dimenticato poco fa di moltiplicare l'area del triangolo per il peso di densità (1/6) che ivi l'area assume.
Quindi $F(z)=(1/6)*(z^2/4)=(z^2)/24$, questo fino a che z tocca il valore 2.
Per z=2 si avrà quindi F(z)=1/6. Cioè F(z) cresce come una parabola, concava verso l'alto, da F=0 (per z=0) fino a F=1/6 (per z=2). E fin qui ci siamo.
Poi bisogna determinare il modo in cui F(z) continua a crescere fino al suo valore massimo, cioè 1, nel restante intervallo ammesso per z.
Intanto ti dico cosa c'è di sbagliato nel tuo integrale doppio. Ben 2 sono gli errori:
E' sbagliato l'ordine d'integrazione. Sono sbagliati gli estremi di integrazione nell'integrale in dy.
Corretto è invece:
1) Prima (e sottolineo "prima") integrare in dy da 0 a 2x (la tua retta obliqua, fissato x, ha sotto di sé ordinate che variano da 0 a 2x, e non da 0 a z). Questo ti dà come risultato (2x).
2) Secondo, devi integrare (2x dx) da 0 a z/2.
Con l'integrando uguale a (1/6) otterrai allora $z^2/24$, esattamente come ottenuto col metodo geometrico!
E non mi venire a dire che il testo riporta un'altra risposta! Sai quanti errori contengono i libri?
Per ora abbi fede, uomo, e procedi! Il premio (e la soddisfazione di aver trovato un errore nel "libro") arriveranno alla fine.
Rem tene, verba sequentur. E chi più ne ha , più ne metta.
Quindi $F(z)=(1/6)*(z^2/4)=(z^2)/24$, questo fino a che z tocca il valore 2.
Per z=2 si avrà quindi F(z)=1/6. Cioè F(z) cresce come una parabola, concava verso l'alto, da F=0 (per z=0) fino a F=1/6 (per z=2). E fin qui ci siamo.
Poi bisogna determinare il modo in cui F(z) continua a crescere fino al suo valore massimo, cioè 1, nel restante intervallo ammesso per z.
Intanto ti dico cosa c'è di sbagliato nel tuo integrale doppio. Ben 2 sono gli errori:
E' sbagliato l'ordine d'integrazione. Sono sbagliati gli estremi di integrazione nell'integrale in dy.
Corretto è invece:
1) Prima (e sottolineo "prima") integrare in dy da 0 a 2x (la tua retta obliqua, fissato x, ha sotto di sé ordinate che variano da 0 a 2x, e non da 0 a z). Questo ti dà come risultato (2x).
2) Secondo, devi integrare (2x dx) da 0 a z/2.
Con l'integrando uguale a (1/6) otterrai allora $z^2/24$, esattamente come ottenuto col metodo geometrico!
E non mi venire a dire che il testo riporta un'altra risposta! Sai quanti errori contengono i libri?
Per ora abbi fede, uomo, e procedi! Il premio (e la soddisfazione di aver trovato un errore nel "libro") arriveranno alla fine.
Rem tene, verba sequentur. E chi più ne ha , più ne metta.
**** che spiegazione esaustiva!
grazie 1 milione!
comunque ora ti dico da dove arrivano i miei dubbi, sempre se hai tempo e voglia.
Ho trovato queste slide, perchè spesso mi piace vedere come certi argomenti vengono affrontati nelle università estere:
http://www.its.caltech.edu/~ee162/notes/lect8.pdf
se guardi le slide dalla 4 alla 6, e poi quelle che comprendono l'esempio 8.3 (dalla slide 9 alla 1) vedi che spiegano come si possa ottenere lo stesso risultato sia integrando prima in dx e poi in dy, sia prima in dy e poi in dx.
Applicato a questo esercizio, usando gli integrali (si! mi piacciono! adoro Riemann!!!) , per calcolare l'area sottesa alla retta y=z-2x avremmo potuto porre i gli estremi di integrazione in questo modo (integrando prima in dx e poi dy):
se y=z-2x --> $x=(z-y)/2$
dunque
$\int_(x=0)^((z-y)/2)(1/6)dx$ (estremo inf = 0, estremo sup = $x=(z-y)/2$ nel caso non si capisse dalla formattazione)
mentre in dy gli estremi sarebbero:
$\int_0^z(dy)$
quindi otteniamo quest'obrobrio:
$\int_0^z(\int_(x=0)^((z-y)/2)(1/6)dx)dy$
svolgendo i calcoli (che qui ometto perchè altrimenti diventa un pastone illeggibile), troviamo l'area che è $(z^2)/24$
Area che troviamo anche se integriamo in modo inverso, cioè prima per dy e poi per dx, seguendo gli estremi:
$\int_0^((z-y)/2)(\int_0^(z-2x)(1/6)dy)dx = (z^2)/24$
non lo so, ma in questi casi guardando l'equazione della retta y=z-2x mi viene quasi naturale mettere gli estremi di integrazione in questi casi (il """"quasi"""" va tra parecchie virgolette)
è più complicato? Senza dubbio
è migliore il metodo algebrico-geometrico? Senza ALCUN dubbio!
ma quanto bello è rompersi la testa co sti integrali?
adesso vediamo se riesco a districarmi nel caso $2
grazie ancora per il supporto che fornisci
grazie 1 milione!
comunque ora ti dico da dove arrivano i miei dubbi, sempre se hai tempo e voglia.
Ho trovato queste slide, perchè spesso mi piace vedere come certi argomenti vengono affrontati nelle università estere:
http://www.its.caltech.edu/~ee162/notes/lect8.pdf
se guardi le slide dalla 4 alla 6, e poi quelle che comprendono l'esempio 8.3 (dalla slide 9 alla 1) vedi che spiegano come si possa ottenere lo stesso risultato sia integrando prima in dx e poi in dy, sia prima in dy e poi in dx.
Applicato a questo esercizio, usando gli integrali (si! mi piacciono! adoro Riemann!!!
) , per calcolare l'area sottesa alla retta y=z-2x avremmo potuto porre i gli estremi di integrazione in questo modo (integrando prima in dx e poi dy):se y=z-2x --> $x=(z-y)/2$
dunque
$\int_(x=0)^((z-y)/2)(1/6)dx$ (estremo inf = 0, estremo sup = $x=(z-y)/2$ nel caso non si capisse dalla formattazione)
mentre in dy gli estremi sarebbero:
$\int_0^z(dy)$
quindi otteniamo quest'obrobrio:
$\int_0^z(\int_(x=0)^((z-y)/2)(1/6)dx)dy$
svolgendo i calcoli (che qui ometto perchè altrimenti diventa un pastone illeggibile), troviamo l'area che è $(z^2)/24$
Area che troviamo anche se integriamo in modo inverso, cioè prima per dy e poi per dx, seguendo gli estremi:
$\int_0^((z-y)/2)(\int_0^(z-2x)(1/6)dy)dx = (z^2)/24$
non lo so, ma in questi casi guardando l'equazione della retta y=z-2x mi viene quasi naturale mettere gli estremi di integrazione in questi casi (il """"quasi"""" va tra parecchie virgolette)
è più complicato? Senza dubbio
è migliore il metodo algebrico-geometrico? Senza ALCUN dubbio!
ma quanto bello è rompersi la testa co sti integrali?
adesso vediamo se riesco a districarmi nel caso $2
grazie ancora per il supporto che fornisci
Dave03 scripsit:
Attento! L'integrale più esterno, quello in dx, ha gli estremi d'integrazione sbagliati:
ERRATA: da 0 a (z-y)/2
CORRIGE: da 0 a z/2
Inoltre in entrambi gli integrali manca l'integrando (la funzione densità) che vale 1/6 per $0<=z<=4$.
Capisco tuttavia che si tratta di semplici viste (legate, penso, a dei Copia-Incolla frettolosi).
Bene! E' vero, puoi anche integrare nell'altro modo. Sempre l'area dello stesso triangolo ti viene!
Quanto alla preferibilità del metodo geometrico, rispetto ai "viscidi" integrali doppi, nota che il rasoio di Ockam ti dice di preferire il metodo geometrico sì, ma solo fino a che non diventa necessario introdurre altri "enti".
E quando diventa necessario? Quando la densità di probabilità è una funzione non banale di x e y.
Qui si ha f(x,y)=1/6 o f(x,y)=1/3, e allora gli integrali si riducono ad aree, ed è un vero peccato non valutarle ad occhio, trattandosi solo di triangoli rettangoli. Ma se ti davano un esercizio con, per esempio, $f(x,y)=sin(x)cos(y)$ o qualche altra diavoleria del genere (e prima o poi vedrai che te la danno), allora hai voglia a scansare gli integrali! Allora sì che loro sono l'unica via!
E guai allora se sbagli gli estremi di integrazione!
Ecco perchè forse è bene che ti eserciti a metterli giusti (dico, gli estremi d'integrazione) fin da ora che, tutto sommato, hai anche un'altra via per calcolare il risultato e controllare se hai scritto degli integrali giusti.
Aspetto tue nuove. Che succede alla retta obliqua 2x+y=z quando z supera 2 ?
Devi sommare ora due triangoli, uno di area fissa 1 e con peso (1/6), e l'altro capovolto e con lo stesso peso ...
Come cambia l'area pesata di questa figura al crescere di z verso il valore 4?
Quando avrai fatto questo, per z che va vieppiù oltre, devi solo ripetere un altro ciclo, con l'unica differenza che il peso dell'area nell'altro rettangolo raddoppia (passa da 1/6 a 1/3).
Area che troviamo anche se integriamo in modo inverso, cioè prima per dy e poi per dx, seguendo gli estremi:
$\int_0^{(z-y)/2}(\int_0^{z-2x}dy)dx=z/24$
Attento! L'integrale più esterno, quello in dx, ha gli estremi d'integrazione sbagliati:
ERRATA: da 0 a (z-y)/2
CORRIGE: da 0 a z/2
Inoltre in entrambi gli integrali manca l'integrando (la funzione densità) che vale 1/6 per $0<=z<=4$.
Capisco tuttavia che si tratta di semplici viste (legate, penso, a dei Copia-Incolla frettolosi).
Bene! E' vero, puoi anche integrare nell'altro modo. Sempre l'area dello stesso triangolo ti viene!
Quanto alla preferibilità del metodo geometrico, rispetto ai "viscidi" integrali doppi, nota che il rasoio di Ockam ti dice di preferire il metodo geometrico sì, ma solo fino a che non diventa necessario introdurre altri "enti".
E quando diventa necessario? Quando la densità di probabilità è una funzione non banale di x e y.
Qui si ha f(x,y)=1/6 o f(x,y)=1/3, e allora gli integrali si riducono ad aree, ed è un vero peccato non valutarle ad occhio, trattandosi solo di triangoli rettangoli. Ma se ti davano un esercizio con, per esempio, $f(x,y)=sin(x)cos(y)$ o qualche altra diavoleria del genere (e prima o poi vedrai che te la danno), allora hai voglia a scansare gli integrali! Allora sì che loro sono l'unica via!
E guai allora se sbagli gli estremi di integrazione!
Ecco perchè forse è bene che ti eserciti a metterli giusti (dico, gli estremi d'integrazione) fin da ora che, tutto sommato, hai anche un'altra via per calcolare il risultato e controllare se hai scritto degli integrali giusti.
Aspetto tue nuove. Che succede alla retta obliqua 2x+y=z quando z supera 2 ?
Devi sommare ora due triangoli, uno di area fissa 1 e con peso (1/6), e l'altro capovolto e con lo stesso peso ...
Come cambia l'area pesata di questa figura al crescere di z verso il valore 4?
Quando avrai fatto questo, per z che va vieppiù oltre, devi solo ripetere un altro ciclo, con l'unica differenza che il peso dell'area nell'altro rettangolo raddoppia (passa da 1/6 a 1/3).
Myself
No, qui avevo sbagliato, scusa!. Ma, per pura coincidenza il risultato veniva giusto.
Ora mi correggo. Avrei dovuto dire:
1) Prima (e sottolineo "prima") bisogna integrare in dy da 0 a z-2x (la tua retta obliqua, fissato z, per ogni x ha sotto di sé ordinate che variano da 0 a z-2x, e non da 0 a z). Questo ti dà come risultato (z-2x).
2) Secondo, devi integrare (1/6)(z-2x) in dx con estremi da 0 a z/2, il che ti dà $z^2/4$.
Corretto è invece:
1) Prima (e sottolineo "prima") integrare in dy da 0 a 2x (la tua retta obliqua, fissato x, ha sotto di sé ordinate che variano da 0 a 2x, e non da 0 a z). Questo ti dà come risultato (2x).
2) Secondo, devi integrare (2x dx) da 0 a z/2.
No, qui avevo sbagliato, scusa!. Ma, per pura coincidenza il risultato veniva giusto.
Ora mi correggo. Avrei dovuto dire:
1) Prima (e sottolineo "prima") bisogna integrare in dy da 0 a z-2x (la tua retta obliqua, fissato z, per ogni x ha sotto di sé ordinate che variano da 0 a z-2x, e non da 0 a z). Questo ti dà come risultato (z-2x).
2) Secondo, devi integrare (1/6)(z-2x) in dx con estremi da 0 a z/2, il che ti dà $z^2/4$.
adesso devo considerare il caso $ 2
quindi devo calcolare l'area della regione in blu (pesandola successivamente con il valore della probabilità)
l'area di questa figura corrisponde all'area totale del rettangolo in oggetto meno l'area del triangolino in alto
adesso però devo trovare la base e l'altezza di sto triangolo...e non riesco a capire come esprimerle, considerando che $2
quindi devo calcolare l'area della regione in blu (pesandola successivamente con il valore della probabilità)
l'area di questa figura corrisponde all'area totale del rettangolo in oggetto meno l'area del triangolino in alto
adesso però devo trovare la base e l'altezza di sto triangolo...e non riesco a capire come esprimerle, considerando che $2
mi sembra che la soluzione corretta sia questa:
la base del triangolo è $1-(z-2)/2$
mentre l'altezza equivale a $2-(z-2)$
quindi l'area del triangolino giallo è
${[1-(z-2)/2]*[2-(z-2)]}/2$ che svolgendo i calcoli risulta essere $(z - 4)^2/4$
che pensandolo col valore dell'area in questo settore vale: $1/6(z - 4)^2/4$
Quindi se 2
$1/3-[1/6(z - 4)^2/4]$
la base del triangolo è $1-(z-2)/2$
mentre l'altezza equivale a $2-(z-2)$
quindi l'area del triangolino giallo è
${[1-(z-2)/2]*[2-(z-2)]}/2$ che svolgendo i calcoli risulta essere $(z - 4)^2/4$
che pensandolo col valore dell'area in questo settore vale: $1/6(z - 4)^2/4$
Quindi se 2
$1/3-[1/6(z - 4)^2/4]$
Fin qui vai bene. La riprova è che per z=2 ottieni F(z=2)=1/6 che era il valore cui eri arrivato prima da sinistra, cioè facendo crescere z da 0 a 2.
Ora non ti resta che ripetere il procedimento, perchè come z supera 4, di nuovo compare un trangolino in basso a destra nel secondo rettangolo, quello posizionato fra x=2 e x=3. Per 4
Senti, ora mi dai una dritta su come fare quelle belle nitide figure geometriche che hai postato nel tuo ultimo messaggio? Mi interessa sapere anche come si fa a colorarle. Grazie!
Ora non ti resta che ripetere il procedimento, perchè come z supera 4, di nuovo compare un trangolino in basso a destra nel secondo rettangolo, quello posizionato fra x=2 e x=3. Per 4
Senti, ora mi dai una dritta su come fare quelle belle nitide figure geometriche che hai postato nel tuo ultimo messaggio? Mi interessa sapere anche come si fa a colorarle. Grazie!
i disegni li ho fatti col ""potentissimo"" Paint di windows, poi le ho salvate in jpeg e messe su imageshack per linkarle sul forum
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