Problema con definizione di valore atteso
Ho queste due definizioni di valore atteso:
$E[X] = int_{-infty}^{+infty} xf_{X}(x) dx $ e
$E[X] = int_{0}^{+infty} [1-F_{X}(x)] dx -int_{-infty}^{0} F_{X}(x) dx $ (naturalmente i due integrali nella seconda definizione devono essere convergenti). Il mio problema è quello di provare questa uguaglianza in generale:
$ int_{-infty}^{+infty} xf_{X}(x) dx = int_{0}^{+infty} [1-F_{X}(x)] dx -int_{-infty}^{0} F_{X}(x) dx $.
Sono partito dal membro di sinistra e ho provato ad integrare per parti ma non ricavo niente.
La $ F_{X}(x)$ è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria; la $ f_{X}(x)$ è la funzione di densità di probabilità e la
$1-F_{X}(x)$ è la funzione di sopravvivenza. Potete darmi qualche dritta????
$E[X] = int_{-infty}^{+infty} xf_{X}(x) dx $ e
$E[X] = int_{0}^{+infty} [1-F_{X}(x)] dx -int_{-infty}^{0} F_{X}(x) dx $ (naturalmente i due integrali nella seconda definizione devono essere convergenti). Il mio problema è quello di provare questa uguaglianza in generale:
$ int_{-infty}^{+infty} xf_{X}(x) dx = int_{0}^{+infty} [1-F_{X}(x)] dx -int_{-infty}^{0} F_{X}(x) dx $.
Sono partito dal membro di sinistra e ho provato ad integrare per parti ma non ricavo niente.
La $ F_{X}(x)$ è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria; la $ f_{X}(x)$ è la funzione di densità di probabilità e la
$1-F_{X}(x)$ è la funzione di sopravvivenza. Potete darmi qualche dritta????
Risposte
Per parti va benissimo ma devi partire dal membro di destra . Ti mostro uno dei due addendi:
$-int_(-oo )^(0 )F (x)dx=-xF (x )]_(-oo)^(0 )+int_(-oo)^(0)xf (x)dx=int_(-oo)^(0)xf (x)dx $
dato che il primo termine è zero (lo puoi vedere facendo il limite e risolvendolo con de l'Hopital).
...ed abbiamo trovato metà della media.... risolvendo l'altro integrale in modo analogo trovi l'altra metà della media
Ciao
$-int_(-oo )^(0 )F (x)dx=-xF (x )]_(-oo)^(0 )+int_(-oo)^(0)xf (x)dx=int_(-oo)^(0)xf (x)dx $
dato che il primo termine è zero (lo puoi vedere facendo il limite e risolvendolo con de l'Hopital).
...ed abbiamo trovato metà della media.... risolvendo l'altro integrale in modo analogo trovi l'altra metà della media
Ciao
Che svista terribile. Grazie per l'aiuto. Però c'è un piccolo problema ancora secondo me.
Quando risolvo $\lim_{x to -infty} x*F_{X}(x) $ trovo una forma indeterminata $0*infty$. Quindi mi riscrivo il tutto come
$\lim_{x to -infty} x*F_{X}(x) = \lim_{x to -infty} \frac{x}{frac{1}{F_{X}(x)}} $ e mi trovo una forma indeterminata $frac{infty}{infty}$. Ora per applicare il teorema di de l'Hôpital devo supporre anche che $frac{d}{dx}(frac{1}{F_{X}(x)}) \ne 0 $ cioè
$-frac{f_{X}(x)}{(F_{X}(x))^2} \ne 0 $ e quindi $f_{X}(x) \ne 0 $. Facendo questa ipotesi possiamo applicare il teorema di de l'Hôpital e troviamo che il risultato del limite iniziale è zero. Però quello che mi lascia perplesso è che il codominio della $f_{X}(x)$ è $[0,+infty)$. Quindi potrebbe capitare che $f_{X}(x)=0$ quando x tende a $-infty$. in questo caso il teorema di de l'Hôpital non può essere applicato e quindi il limite va risolto in maniera diversa. Sei d'accordo con le mie affermazioni??
Quando risolvo $\lim_{x to -infty} x*F_{X}(x) $ trovo una forma indeterminata $0*infty$. Quindi mi riscrivo il tutto come
$\lim_{x to -infty} x*F_{X}(x) = \lim_{x to -infty} \frac{x}{frac{1}{F_{X}(x)}} $ e mi trovo una forma indeterminata $frac{infty}{infty}$. Ora per applicare il teorema di de l'Hôpital devo supporre anche che $frac{d}{dx}(frac{1}{F_{X}(x)}) \ne 0 $ cioè
$-frac{f_{X}(x)}{(F_{X}(x))^2} \ne 0 $ e quindi $f_{X}(x) \ne 0 $. Facendo questa ipotesi possiamo applicare il teorema di de l'Hôpital e troviamo che il risultato del limite iniziale è zero. Però quello che mi lascia perplesso è che il codominio della $f_{X}(x)$ è $[0,+infty)$. Quindi potrebbe capitare che $f_{X}(x)=0$ quando x tende a $-infty$. in questo caso il teorema di de l'Hôpital non può essere applicato e quindi il limite va risolto in maniera diversa. Sei d'accordo con le mie affermazioni??
Beh intanto l'idea che ti ho proposto è solo un'idea di soluzione che mi è venuta di primo acchito.... Non ho detto che si debba fare così.... però se il supporto della va è $[0;oo) $ anche la formula è diversa .
$E (X)=int_(0)^(oo)(1-F)dx $
Ora, la formula in questione vale solo se f è continua... e quindi mi pare che tutto funzioni....
Il problema si pone solo a $x rarr +oo $ dove trovi $(1-F)^2/f $ che vale sempre zero, anche se $f rarr 0$
Il caso di $f=0$ non è un problema perché in tal caso l'integrale sarebbe $int_(0)^(c)(1-F)dx $ e quindi l'addendo in questione non è nemmeno indeterminato, è zero è stop
$E (X)=int_(0)^(oo)(1-F)dx $
Ora, la formula in questione vale solo se f è continua... e quindi mi pare che tutto funzioni....
Il problema si pone solo a $x rarr +oo $ dove trovi $(1-F)^2/f $ che vale sempre zero, anche se $f rarr 0$
Il caso di $f=0$ non è un problema perché in tal caso l'integrale sarebbe $int_(0)^(c)(1-F)dx $ e quindi l'addendo in questione non è nemmeno indeterminato, è zero è stop
Scusami io sto parlando di codominio. Non vedo il collegamento con il supporto (da quello che so è un sottoinsieme del dominio). Quindi la formula del valore atteso non bisogna modificarla. Grazie per il tuo aiuto comunque. Il mio problema è solo la discussione di un limite in un determinato caso a quanto pare.
Riflettendoci, la risposta alla tua domanda è banale. Se $f=0$ a $+-oo $ il problema è ancora più semplice perché in tal caso l'integrale della media non è più improprio e quindi la quantità di cui stiamo discutendo non è indeterminata ma vale zero
Scusa ma io proprio non riesco a vedere che è uguale a zero 
Il problema è solo a $+-oo $. Se la $f=0$ significa che il dominio è $[a,b] $ e quindi troveresti, ad esempio,
$x (1-F )]_0^(b)=b *0-0*(1-F (0))=0$ e analogamente per l'altro integrale. Chiaro ora?
$x (1-F )]_0^(b)=b *0-0*(1-F (0))=0$ e analogamente per l'altro integrale. Chiaro ora?
se $f=0$ allora $1-F$ è una costante!! Mi stava sfuggendo questo fatto 
Ora è chiaro grazie mille 
Ora è chiaro grazie mille
Faccio anche notare che la funzione di densità $f_X(x)$ di una variabile aleatoria è obbligata ad andare a zero quando $x\rightarrow \pm \infty$ visto che per definizione l'integrale $\int_{-infty}^{+infty}f_X(x) dx$ è convergente
Ciò non è affatto vero. Ad esempio $X~U [0,1] $
$f (x)=I_([0;1]) $
0 altrove
È l'integrale diventa $int_0^1xdx=1/2$
$f (x)=I_([0;1]) $
0 altrove
È l'integrale diventa $int_0^1xdx=1/2$
Come ciò non è affatto vero??? La densità che mi hai scritto vale proprio 0 quando x va a più infinito
Ma il tuo integrale non dovrebbe essere $\int_[0]^[1] 1 dx = 1$???
Sì ma la densità si ferma alla fine del dominio che è in $[0;1] $
Ovviamente ho fatto l'integrale della media... perché è di quello che stiamo parlando
Ovviamente ho fatto l'integrale della media... perché è di quello che stiamo parlando
Ecco perché non ti sto più capendo 
io parlavo solamente dell'integrale della densità nel suo dominio. Non della media. L'affermazione che ho aggiunto riguardava solamente l'integrale della densità e come si comporta la densità quando x tende a più o meno infinito. La discussione è continuata dal fatto che nel caso in cui la x tende a più infinito, allora la densità potrebbe tendere a zero. E io sto aggiungendo che la densità è obbligata purtroppo ad andare sempre a zero. Sto riuscendo a spiegarmi bene????
io parlavo solamente dell'integrale della densità nel suo dominio. Non della media. L'affermazione che ho aggiunto riguardava solamente l'integrale della densità e come si comporta la densità quando x tende a più o meno infinito. La discussione è continuata dal fatto che nel caso in cui la x tende a più infinito, allora la densità potrebbe tendere a zero. E io sto aggiungendo che la densità è obbligata purtroppo ad andare sempre a zero. Sto riuscendo a spiegarmi bene????
E questa allora?
$f (x)=-logx I_((0;1))(x) $
$int_0^1 f (x)=1$ eppure $f (0^+)=f (-oo)=+oo $
$f (x)=-logx I_((0;1))(x) $
$int_0^1 f (x)=1$ eppure $f (0^+)=f (-oo)=+oo $
Non trovo qualcosa che non vada nel tuo esempio, quindi a quanto sembra sto sparando un mucchio di fesserie. Però ho ancora un altro dubbio!
Per definizione so che $F_X(x)=int_(-infty)^(x) f_X(t)dt$ e ora utilizzando il Teorema fondamentale del calcolo posso scrivere:
$frac(d( F_X(x)))(dx)= f_X(x) - lim_(t to -infty) f_X(t)$. Ora quanto dovrebbe valere quel limite allora???
Per definizione so che $F_X(x)=int_(-infty)^(x) f_X(t)dt$ e ora utilizzando il Teorema fondamentale del calcolo posso scrivere:
$frac(d( F_X(x)))(dx)= f_X(x) - lim_(t to -infty) f_X(t)$. Ora quanto dovrebbe valere quel limite allora???
L'unica cosa che mi viene in mente è questa:
$F_X(x)=int_(-infty)^(x)f_X(t)dt= lim_(c to -infty)int_(c)^(x)f_X(t)dt$. Quindi
$frac(d(F_X(x)))(dx)=frac(d)(dx)(lim_(c to -infty)int_(c)^(x)f_X(t)dt)$. Ora scambio limite con derivata e ottengo:
$lim_(c to -infty)( frac(d)(dx) (int_(c)^(x)f_X(t)dt) ) $ applicando bene il teorema fondamentale del calcolo ottengo che:
$lim_(c to -infty) f_X(x) = f_X(x) $.
$F_X(x)=int_(-infty)^(x)f_X(t)dt= lim_(c to -infty)int_(c)^(x)f_X(t)dt$. Quindi
$frac(d(F_X(x)))(dx)=frac(d)(dx)(lim_(c to -infty)int_(c)^(x)f_X(t)dt)$. Ora scambio limite con derivata e ottengo:
$lim_(c to -infty)( frac(d)(dx) (int_(c)^(x)f_X(t)dt) ) $ applicando bene il teorema fondamentale del calcolo ottengo che:
$lim_(c to -infty) f_X(x) = f_X(x) $.
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