Problema con correlazione

[oleg.fresi]

Buonasera, ho questo esercizio: un processo produttivo di un oggetto consiste di due fasi. Il tempo di completamento della prima fase segue una distribuzione normale di media 140 minuti e deviazione standard 25 minuti; il tempo di completamento della seconda fase segue una distribuzione normale di media 75 minuti e deviazione standard 20 minuti. Si supponga che i tempi di completamento delle due fasi siano indipendenti. Qual è la probabilità che occorrano meno di 175 minuti per completare un oggetto?

Per riolvere l'esercizio, devo calcolare $P{Z = X + Y<175}$. Per farlo devo calcolare la deviazione standard relative alle due variabili usando la formula, dove $rho$ = CORR(X,Y):
$sigma_(x,y)^2 = sigma_x^2+sigma_y^2+2sigma_xsigma_y rho$.

Il problema è che non so come calcolare la correlazione con i dati che ho a disposizione.
Potreste aiutarmi per favore?

[Lo_zio_Tom]

Osserva che la nuova variabile $Z$ è ancora gaussiana di media $140+75$ e varianza $20^2+25^2$ quindi non ti resta che standardizzare la nuova variabile e risolvere leggendo il risultato sulle tavole

$P(Z<175)=Phi((175-215)/32)=Phi(-1,25)\approx 1-0,8944=0,1056$

La correlazione è zero, data l'indipendenza

[oleg.fresi]

Ah perfetto, non avevo prestato attenzione al dato sull'indipendenza. Avrei un'altra domanda. L'esercicio chiede inoltre la probabilità di completare 3 oggetti entro 10 ore, quindi $P{3(x+y)<600}$. sarebbe giusto fare il procedimento di prima ma moltiplicando media e deviazione standard per 3, quindi calcolare $P{Z<(600-645)/96}$, perchè così facendo non sembra venire giusto il risultato

[Lo_zio_Tom]

No è sbagliato.

$(Z_1+Z_2+Z_3) ~ N[215xx3; (20^2+25^2)xx3]$

Così vedrai che torna

Osserva che

$Z_1+Z_2+Z_3 ne 3Z_1$

[oleg.fresi]

Quindi si tratterebbe di calcolare $Phi((600-645)/1075) = Phi(-0.014)=0.4690$, ma in realtà dovrebbe venire $0.2090$

[Lo_zio_Tom]

Applicando ciò che ti ho detto a me risulta

$Phi((600-645)/55.45)=Phi(-0.81)\approx 1-0.791=0.209$


Basta fare giusti i conticini eh...

$55.45=sqrt((20^2+25^2)xx3)$

[oleg.fresi]

Perfetto, ora mi tornano i conti. Vorrei capire però perchè si moltiplica per 3 la varianza e non la deviazione standard, sicuramente è legato al fatto che $Z_1+Z_2+Z_3 != 3Z_1$ ma non capisco come cambia la formula al variare del numero di variabili aleatorie.

[Lo_zio_Tom]

Non si moltiplica la varianza ma si sommano le 3 varianze uguali.

$V(3X)=3^2V(X)$

Ma

$V(X_1+X_2+X_3)=V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)=3V(X)$

Queste sono proprio le basi della teoria

[oleg.fresi]

Adesso mi è tutto chiaro, grazie tante!