Problema con alternative di alternative

[j18eos]

Ecco il testo integrale dell'esercizio(*):

Sia [tex]$p_n=ap^n$[/tex] con [tex]$n\in\mathbb{N},\,a>0,\,0 Determinare:

a) [tex]$p_0\bigg(=\frac{1-p(a+1)}{1-p}\bigg)$[/tex], punto già eseguito;

ed inoltre, scelta una famiglia a caso, calcolare la probabilità che essa abbia esattamente:

b) tra i figli esattamente [tex]$n$[/tex] maschi;

c) due o più maschi, sapendo che ha almeno un maschio.

Io ho ragionato così, siano definiti i seguenti eventi:

[tex]$\forall n\in\mathbb{N}_0;\,0\leq k\leq n,\,F_n=\text{"La famiglia scelta a caso abbia n figli."};\,M_k^n=\text{"La famiglia scelta a caso abbia n figli; di cui k maschi."}$[/tex]

e trovo banale che gli eventi [tex]$M_k^n$[/tex] sono le alternative per gli eventi [tex]$F_n$[/tex]; fissato il numero [tex]$n$[/tex], specificamente [tex]$F_n=\bigcup_{k=0\hdots n}^{\circ}M_k^n$[/tex] quindi [tex]$ap^n=p_n=p(F_n)=\hdots=\sum_{k=0}^np(M_k^n)$[/tex].

Poi come arrivo a calcolare [tex]$p(M_n^n)$[/tex], per risolvere la questione b?

Risolto b in questo modo, per il punto c troverei [tex]$\sum_{n=2}^{+\infty}p\bigg(\bigcup_{k=2\hdots n}^{\circ}M_k^n\bigg|M_1^n\bigg)=0$[/tex] quindi dove sbaglio?

§§§

(*) Fonte Baclawski - Cerasoli - Rota; Introduzione alla probabilità; es. pag. 104 n. 21!

Soluzioni: b) [tex]$\frac{2ap^n}{(2-p)^{n+1}}$[/tex]; c) [tex]$\frac{p}{2-p}$[/tex]

[cenzo1]

Non mi torna il primo punto: $p_0=a*p^0=a=1-p$, poichè $sum_{n=0}^{\infty}ap^n=1 -> a/(1-p)=1 ->=a=1-p$
b) La probabilità di avere esattamente $n$ maschi è il prodotto della probabilità di avere $k$ figli ($k>=n$) e della probabilità (binomiale) che tra questi $k$ figli ce ne siano esattamente $n$ maschi:
$sum_{k=n}^{\infty}ap^k*((k),(n))(1/2)^k$, da cui il risultato.

[j18eos]

Infatti: [tex]$n\in\mathbb{N}=\{1;2;\hdots\}$[/tex] e quindi [tex]$p_0\neq a$[/tex]!

Ho interpretato male il testo -_-

Grazie cenzo!

EDIT Penso che il testo sarebbe stato più chiaro se la richiesta b fosse così modificata:

...
b) tra i figli esattamente [tex]$m$[/tex] maschi;
...

[cenzo1]

Cavolo! Mi veniva naturale pensare anche a famiglie senza figli (e pensare che mi trovavo pure coi punti b e c!)

Sono d'accordo sulla formulazione ambigua del punto b).
A proposito, quella serie che esce al punto b: $sum_{k=0}^{\infty}((k+n),(n))z^k=1/((1-z)^(n+1))$ me l'ha risolta wolfram alpha...
mi puoi dare cortesemente un indizio su come dimostrarla? (anche un link..)
Grazie

[j18eos]

Eccoti l'indizio: media della variabile aleatoria geometrica!

Che possa servire anche ad altri; con la stessa tecnica ma utilizzando le binomiali ottieni una somma simpatica.