Problema computazionale su Massima Verosimiglianza

[ReggaetonDj]

Ciao, ho un problema operativo: voglio stimare i parametri che fan sì che la distribuzione di Weibull fitti bene un insieme di dati.

Data la funzione di densità della Weibull

[tex]$
f(t)=\frac{k}{\lambda}\biggl(\frac{t}{\lambda}\biggl)^{k-1} e^{-(t/\lambda)^k}
$[/tex],

e dato un vettore di [tex]$n$[/tex] elementi [tex]$t_i$[/tex], con[tex]$n$[/tex] dell'ordine di grandezza [tex]$10^4$[/tex], definisco la funzione di Verosimiglianza della Weibull come:

[tex]$
\prod_{i=1}^{i=n}{\frac{k}{\lambda}\biggl(\frac{t_i}{\lambda}\biggl)^{k-1} e^{-(t_i/\lambda)^k}}
$[/tex]

Il Metodo della Massima Verosimiglianza identifica i parametri [tex]$\lambda$[/tex] e [tex]$k$[/tex], come quei parametri che massimizzano tale funzione.

Massimizzare tale funzione dato un vettore di dimensione [tex]$10^4$[/tex], comporta dover realizzare una produttoria di funzione di densità, che per natura tenderanno ad essere di valore inferiore all'unità. Quindi in conclusione il valore della funzione di Verosimiglianza sarà infinitesimale quale che sia la coppia di parametri inserita. Da qui il problema.

Quale algoritmo al variare di [tex]$\lambda$[/tex] e [tex]$k$[/tex] permette di avvicinarsi maggiormente all'ottimo, considerando che la differenza tra due soluzioni qualsiasi avrà ordine di grandezza infinitesimale?

(o forse devo usare un altro approccio?)

[frapippo1]

Ciao. Sia analiticamente che computazionalmente è preferibile massimizzare la log-likelihood, cioè il logaritmo della funzione di verosimiglianza che hai scritto. Questo perché il logaritmo è una funzione monotona crescente, per cui i valori dei parametri (in tal caso $\lambda$ e $k$) in cui la funzione raggiunge il massimo valore sono gli stessi. Inoltre, prendendo il log della tua produttoria, hai una sommatoria di logaritmi: il valore della tua log-verosimiglianza non sarà pertanto infinitesimale.
Nota che la log-verosimiglianza è negativa: per cui a valori assoluti più piccoli della log-verosimiglianza, corrispondono stime "più plausibili" dei parametri.