Problema cap.4 ross

[incredibili33]

ciao a tutti,
questa è una variante di un esempio svolto nel cap.4 del Ross e ripreso da un esercizio nello stesso capitolo e, siccome non è data la soluzione, vorrei sapere cosa ne pensate.
Estraiamo quattro palline a caso con reinserimento da una scatola che contiene 20 palline numerate da 1 a 20. Se X denota il numero più grande tra i quattro estratti, allora X sarà una variabile aleatoria che può assumere i valori 4,5,...20.

Consideriamo il valore i assunto dalla variabile aleatoria X
Supponiamo per esempio che sia 5
Le configurazioni di palline che possiamo avere possono essere
5555----1 modo possibile
555x----$i-1$ modi possibili
55xx ----$(i-1)^2$ modi possibili
5xxx------$(i-1)^3$ modi possibili

quindi posso avere $1+(i-1)^1+(i-1)^2+(i-1)^3$ modi possibili per ogni valore i della x

$ P(X=i)= (1+(i-1)^1+(i-1)^2+(i-1)^3)/20^4 $
con $i =1,2,...,20$.


$ P(X>10)= \sum_{i=11}^20 (1+(i-1)^1+(i-1)^2+(i-1)^3)/20^4 =1-P(x<=10)=1-10^4/20^4$

cosa ne pensate?
Anna

[Lo_zio_Tom]

"incredibili33":
Estraiamo quattro palline a caso con reinserimento da una scatola che contiene 20 palline numerate da 1 a 20. Se X denota il numero più grande tra i quattro estratti, allora X sarà una variabile aleatoria che può assumere i valori 4,5,...20.

[non è vero! L'estrazione è con reinserimento: possiamo ad esempio estrarre 1111 e quindi il massimo valore è 1]

Consideriamo il valore i assunto dalla variabile aleatoria X

quindi posso avere $1+(i-1)^1+(i-1)^2+(i-1)^3$ modi possibili per ogni valore i della x [FALSO]

$ P(X=i)= (1+(i-1)^1+(i-1)^2+(i-1)^3)/20^4 $
con $i =1,2,...,20$.

[qui invece il dominio è giusto ma la pmf no. L'espressione che hai scritto, pur essendo sbagliata, fornisce la probabilità corretta solo per x=1]

$P(X>10)=15/16$ è giusta... e ciò doveva anche farti capire che l'espressione della pmf è errata in quanto

"incredibili33":
$ \sum_{i=11}^20 (1+(i-1)^1+(i-1)^2+(i-1)^3)/20^4 !=1-10^4/20^4=15/16$

"incredibili33":
cosa ne pensate?
Anna

Dagli errori commessi mi pare tu abbia molta confusione sui capitoli precedenti, in particolare quelli sul calcolo combinatorio quindi, rispondendo alla tua domanda, penso sinceramente che non sia il caso di andare avanti senza aver prima compreso bene le basi del calcolo....
Ora una curiosità...ma quando risolvi un esercizio non ti poni mai delle domande? non ti accorgi che le combinazioni da te trovate sono pochissime....e che il totale COMUNQUE ti deve dare $20^4$??



l'espressione compatta della pmf è davvero semplice e si può derivare così, utilizzando la definizione di CDF discreta:

$P(X=x)=(x^4-(x-1)^4)/20^4$

$x=1,2,....,20$

Invece, seguendo il tuo ragionamento, potresti fare così:

$P(X=1)=1/20^4$

$P(X=x)=1/20^4sum_(i=1)^(4)((4),(i))(x-1)^(4-i); AAx>1$

ma mi sembra una strada inutilmente complicata


buon lavoro

[incredibili33]

In effetti avevo cominciato considerando le quaterne di palline <=x e invece di perfezionare questo ragionamento escludendo quelle con tutti i numeri <=x-1, sono saltata a quell'altro ragionamento.
Di sicuro devo rivedere tutto (e non sono pochi i problemi che non sono riuscita a risolvere) ma è tanto noioso rimanere sulle cose vecchie per paura di cadere!
grazie come al solito