Problema calcolo probabilità e densità congiunta
Ciao a tutti.
Preparandomi per l'esame (si parla di variabili aleatorie discrete) mi sono imbattuto in questo problema:
Un dado viene lanciato $n = 60000$ volte, con lanci indipendenti fra loro. Chiamiamo $X$ la variabile aleatoria che conta il numero di volte che e’ uscito il numero 1 sugli n lanci, ed $Y$ quella che conta il numero di volte che e’ uscito il numero 2.
1. Calcolare la probabilita’ dell’evento $5000<=X<=15000$
2. Calcolare la probabilita’ dell’evento $5000<=Y<=15000$
3. Le due variabili $X$ e $Y$ sono indipendenti? Fornire la densita’ discreta congiunta di $X$ e $Y$
4. Calcolare la probabilita’ dell’evento congiunto
$5000<=X<=15000 nn 5000<=Y<= 15000$
E sono andato in confusione.
Partendo dal punto 1 (e 2): la probabilità di tale evento la posso calcolare tramite la distribuzione binomiale (ponendo la probabilità di successo $1/6$ e quella di insuccesso $5/6$)?
Quindi impostando una cosa del genere $P(5000<=X<=15000)=\sum_{i=5000}^\15000((60000,i))*1/6^i*(5/6)^(60000-i)$ (la prima parentesi dopo la sommatoria è chiaramente il coefficiente binomiale, non so come farlo)? Oppure è un modo di procedere sbagliato?
Nel punto 3 mi si chiede se le due variabile sono indipendenti: provando a ragionare (cosa che molte volte nel calcolo delle probabilità porta all'errore), mi verrebbe da dire che le due variabili non sono indipendenti perché se in un lancio faccio 1, la variabile $X$ verrà incrementata mentre la $Y$ per forza di cose no. Il ragionamento è sbagliato? Come posso calcolare la densità congiunta, visto che il libro dice chiaramente che il calcolo della densità congiunta a partire da quelle marginali non è possibile?
Magari mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma avrei bisogno di conferme in modo da poter capire in maniera chiara (e corretta) le cose.
Preparandomi per l'esame (si parla di variabili aleatorie discrete) mi sono imbattuto in questo problema:
Un dado viene lanciato $n = 60000$ volte, con lanci indipendenti fra loro. Chiamiamo $X$ la variabile aleatoria che conta il numero di volte che e’ uscito il numero 1 sugli n lanci, ed $Y$ quella che conta il numero di volte che e’ uscito il numero 2.
1. Calcolare la probabilita’ dell’evento $5000<=X<=15000$
2. Calcolare la probabilita’ dell’evento $5000<=Y<=15000$
3. Le due variabili $X$ e $Y$ sono indipendenti? Fornire la densita’ discreta congiunta di $X$ e $Y$
4. Calcolare la probabilita’ dell’evento congiunto
$5000<=X<=15000 nn 5000<=Y<= 15000$
E sono andato in confusione.
Partendo dal punto 1 (e 2): la probabilità di tale evento la posso calcolare tramite la distribuzione binomiale (ponendo la probabilità di successo $1/6$ e quella di insuccesso $5/6$)?
Quindi impostando una cosa del genere $P(5000<=X<=15000)=\sum_{i=5000}^\15000((60000,i))*1/6^i*(5/6)^(60000-i)$ (la prima parentesi dopo la sommatoria è chiaramente il coefficiente binomiale, non so come farlo)? Oppure è un modo di procedere sbagliato?
Nel punto 3 mi si chiede se le due variabile sono indipendenti: provando a ragionare (cosa che molte volte nel calcolo delle probabilità porta all'errore), mi verrebbe da dire che le due variabili non sono indipendenti perché se in un lancio faccio 1, la variabile $X$ verrà incrementata mentre la $Y$ per forza di cose no. Il ragionamento è sbagliato? Come posso calcolare la densità congiunta, visto che il libro dice chiaramente che il calcolo della densità congiunta a partire da quelle marginali non è possibile?
Magari mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma avrei bisogno di conferme in modo da poter capire in maniera chiara (e corretta) le cose.
Risposte
Non penserai sul serio di calcolare una somma di 10.000 termini...Puoi iniziare considerando che
$(sum_(i) X_(i)- n mu)/(sigma sqrt(n))~N (0; 1) $
....e proseguire...l'esercizio è abbastanza articolato
$(sum_(i) X_(i)- n mu)/(sigma sqrt(n))~N (0; 1) $
....e proseguire...l'esercizio è abbastanza articolato
Posso dirti che quella formula non so cosa sia? Non credo di averla mai vista.
Preciso che il mio è un esame di informatica (riguardante trasmissione di codici e protezione di errori) che comprende anche le basi del calcolo di probabilità, quindi può darsi che mi sia imbattuto in un esercizio che con le sole conoscenze che mi si chiedono io non possa risolvere.
Detto questo, mi potresti per favore illustrare tale formula?
P.S: per eventuali altre domande sempre riguardo esercizi di probabilità di cui purtroppo non ho nemmeno il risultato da poter confrontare col mio, utilizzo questa stessa discussione o è preferibile crearne un'altra?
Preciso che il mio è un esame di informatica (riguardante trasmissione di codici e protezione di errori) che comprende anche le basi del calcolo di probabilità, quindi può darsi che mi sia imbattuto in un esercizio che con le sole conoscenze che mi si chiedono io non possa risolvere.
Detto questo, mi potresti per favore illustrare tale formula?
P.S: per eventuali altre domande sempre riguardo esercizi di probabilità di cui purtroppo non ho nemmeno il risultato da poter confrontare col mio, utilizzo questa stessa discussione o è preferibile crearne un'altra?
riguardandolo meglio mi accorgo che è molto più semplice:
dato che la distribuzione di X è una binomiale di media $np=10000$ e scarto $sqrt(npq)=91~= 100$
verosimilmente il numero di volte in cui apparirà un certo numero in 60000 lanci sarà compreso fra 9700 e 10300
quindi tutte le probabilità richieste sono banalmente 1 (per la legge dei grandi numeri)
la distribuzione esatta della coppia $(X,Y)$ è una multinomiale e, nello specifico, una trinomiale
****************
Quella formula è il teorema centrale del limite ed è fondamentale in calcolo delle probabilità... se non l'hai mai fatta stop
***************
per scrivere il coefficiente binomiale $((n),(k))$ basta scrivere ((n),(k)) racchiuso fra i simboli del dollaro
dato che la distribuzione di X è una binomiale di media $np=10000$ e scarto $sqrt(npq)=91~= 100$
verosimilmente il numero di volte in cui apparirà un certo numero in 60000 lanci sarà compreso fra 9700 e 10300
quindi tutte le probabilità richieste sono banalmente 1 (per la legge dei grandi numeri)
la distribuzione esatta della coppia $(X,Y)$ è una multinomiale e, nello specifico, una trinomiale
****************
Quella formula è il teorema centrale del limite ed è fondamentale in calcolo delle probabilità... se non l'hai mai fatta stop
***************
per scrivere il coefficiente binomiale $((n),(k))$ basta scrivere ((n),(k)) racchiuso fra i simboli del dollaro
Ti ringrazio nuovamente per la risposta.
Ora capisco il ragionamento che fai. Ma lo scarto come fai a calcolarlo? Nel senso, vedo come lo calcoli fattivamente ma perché lo calcoli in quel modo? Da che formula deriva?
E perché un numero apparirà compreso tra 9700 e 10300?
Perdonami per le molteplici domande ma è il primo esercizio di questo tipo che mi capita e vorrei capirlo fin dove mi è possibile.
**************
EDIT: rispondendo alla tua modifica, no non l'ho mai fatta. Nonostante purtroppo non ho avuto modo di seguire le lezioni causa lavoro, sono piuttosto certo (avendo per fortuna anche il programma sottomano) che si tratta di un argomento che non è trattato per questo particolare esame.
Ora capisco il ragionamento che fai. Ma lo scarto come fai a calcolarlo? Nel senso, vedo come lo calcoli fattivamente ma perché lo calcoli in quel modo? Da che formula deriva?
E perché un numero apparirà compreso tra 9700 e 10300?
Perdonami per le molteplici domande ma è il primo esercizio di questo tipo che mi capita e vorrei capirlo fin dove mi è possibile.
**************
EDIT: rispondendo alla tua modifica, no non l'ho mai fatta. Nonostante purtroppo non ho avuto modo di seguire le lezioni causa lavoro, sono piuttosto certo (avendo per fortuna anche il programma sottomano) che si tratta di un argomento che non è trattato per questo particolare esame.
sono i parametri della binomiale, che dovresti sapere
$mu=np$
$sigma^2=npq$
approssimando la distribuzione binomiale con una gaussiana (si può fare già per $np>=5$) sappiamo che in una distribuzione normale il 99.8% del supporto è compreso fra $mu+-3.1sigma$
$mu=np$
$sigma^2=npq$
approssimando la distribuzione binomiale con una gaussiana (si può fare già per $np>=5$) sappiamo che in una distribuzione normale il 99.8% del supporto è compreso fra $mu+-3.1sigma$
Sei stato gentilissimo.
Non avevo chiaro che con scarto intendessi la deviazione standard e conseguentemente (picio io) non l'avevo associato alla varianza per calcolare banalmente i valori che poi hai riportato.
Per quanto riguarda gli esercizi, hai ragione. Personalmente ne posterei alcuni semplicemente per capire se il ragionamento che utilizzo per risolverli è corretto (non avendo una soluzione matematica che possa avvalorare il mio ragionamento) più che per la soluzione in sé, come ho fatto in questo caso.
Non avevo chiaro che con scarto intendessi la deviazione standard e conseguentemente (picio io) non l'avevo associato alla varianza per calcolare banalmente i valori che poi hai riportato.
Per quanto riguarda gli esercizi, hai ragione. Personalmente ne posterei alcuni semplicemente per capire se il ragionamento che utilizzo per risolverli è corretto (non avendo una soluzione matematica che possa avvalorare il mio ragionamento) più che per la soluzione in sé, come ho fatto in questo caso.
dunque...dato che in questo caso il teorema del limite centrale non serve vediamo come modificare il testo per renderlo più interessante ed applicare il teorema in oggetto
Tutto identico all'esercizio ma modifichiamo la probabilità di X e Y nel seguente modo:
$P(9950<=X<=10050)$ e analogamente per y
essendo $E(X)=1/6$ e $V(X)=5/36$
applichiamo l'approssimazione gaussiana ottenendo
$P(9950<=X<=10050)=P((9950-10000)/sqrt(5\cdot60000)6<=Z<=(10050-10000)/sqrt(5\cdot60000)6)=0.7081-0.2919=0.4161$
stesso risultato per Y
Per quanto riguarda la probabilità dell'evento congiunto
$(9950
$(W<39900) uu (W>40100)$ dove con $W$ indichiamo il numero di volte che, in 60000 lanci, escono numeri maggiori di 2.
Con la stessa approssimazione otteniamo
$P(W<39900)=P(Z<(39900-40000)/sqrt(2\cdot60000)3)=P(Z<-0.866)=0.1932$
$P(W>40100)=P(Z>(40100-40000)/sqrt(2\cdot60000)3)=P(Z>0.866)=0.1932$
quindi la probabilità cercata è $0.3865$
fine
Tutto identico all'esercizio ma modifichiamo la probabilità di X e Y nel seguente modo:
$P(9950<=X<=10050)$ e analogamente per y
essendo $E(X)=1/6$ e $V(X)=5/36$
applichiamo l'approssimazione gaussiana ottenendo
$P(9950<=X<=10050)=P((9950-10000)/sqrt(5\cdot60000)6<=Z<=(10050-10000)/sqrt(5\cdot60000)6)=0.7081-0.2919=0.4161$
stesso risultato per Y
Per quanto riguarda la probabilità dell'evento congiunto
$(9950
$(W<39900) uu (W>40100)$ dove con $W$ indichiamo il numero di volte che, in 60000 lanci, escono numeri maggiori di 2.
Con la stessa approssimazione otteniamo
$P(W<39900)=P(Z<(39900-40000)/sqrt(2\cdot60000)3)=P(Z<-0.866)=0.1932$
$P(W>40100)=P(Z>(40100-40000)/sqrt(2\cdot60000)3)=P(Z>0.866)=0.1932$
quindi la probabilità cercata è $0.3865$
fine
Tommik, anche se non è richiesta la conoscenza della distribuzione multinomiale per il mio esame, sarei curioso di sapere come si calcola la distribuzione della coppia $(X,Y)$ (visto che mi avevi scritto che è una trinomiale).
Ovviamente, se ti va
Ovviamente, se ti va
sì tranquillo...non è un segreto....ti avevo messo anche il link
$P(X=x,Y=y)=((60000),(x;y;60000-x-y))(1/6)^x(1/6)^y(4/6)^(60000-x-y)=$
$=(60000!)/(x!y!(60000-x-y)!)(4/6)^(60000)/(4^(x+y))$
sul seguente dominio
$ D:{(x, y)|x, y in N; x+y <=60000} $
non ti dico di provare con $n=60000$ perché ci vuole un calcolatore serio....ma per $n=5$ viene così:
$P(X=x,Y=y)=((60000),(x;y;60000-x-y))(1/6)^x(1/6)^y(4/6)^(60000-x-y)=$
$=(60000!)/(x!y!(60000-x-y)!)(4/6)^(60000)/(4^(x+y))$
sul seguente dominio
$ D:{(x, y)|x, y in N; x+y <=60000} $
non ti dico di provare con $n=60000$ perché ci vuole un calcolatore serio....ma per $n=5$ viene così:
Tommik, ho provato a inviarti un MP già ieri ma me lo dà in uscita ma non spedito (non saprei il perché).
Volevo semplicemente ringraziarti per avermi tolto dubbi e insegnato cose che non sapevo!
Ho fatto ieri l'esame e manco a farlo apposta un esercizio chiedeva, data la solita tabella delle densità congiunte, di calcolare le densità marginali e poi di calcolare $E[Z]$ con $Z=X^2-2Y^2$.
Anche l'altro esercizio relativo al calcolo delle probabilità è andato bene (in realtà era molto semplice, molto di più di alcuni esercizi che ho fatto in preparazione).
Insomma, grazie!
Volevo semplicemente ringraziarti per avermi tolto dubbi e insegnato cose che non sapevo!
Ho fatto ieri l'esame e manco a farlo apposta un esercizio chiedeva, data la solita tabella delle densità congiunte, di calcolare le densità marginali e poi di calcolare $E[Z]$ con $Z=X^2-2Y^2$.
Anche l'altro esercizio relativo al calcolo delle probabilità è andato bene (in realtà era molto semplice, molto di più di alcuni esercizi che ho fatto in preparazione).
Insomma, grazie!
"Giobbo89":
Tommik, ho provato a inviarti un MP già ieri ma me lo dà in uscita ma non spedito (non saprei il perché)...
In realtà, diventa "spedito" quando viene letto dal destinatario ... i messaggi non escono dal forum, si spostano solo da una casella all'altra (anzi, probabilmente da un flag all'altro ...
)
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