Problema calcolo delle probabilità (urne e palline)

[dan89-votailprof]

Salve a tutti. Il problema è questo:

In un'urna ci sono 2 palline, una bianca ed una rossa. Si estrae una pallina e se ne guarda il colore. Essa viene poi rimessa nell'urna insieme ad un'altra pallina dello stesso colore. Dati gli eventi Bi="l'i-esima pallina estratta è bianca" e Ri="l'i-esima pallina estratta è rossa"

Calcolare $P(R2)$ e $P(R3)$.

Nel calcolare $P(R2$) non ho avuto problemi, con la partizione dell'evento certo $(R1uuB1)$ e risulta $1/2$.

Intuitivamente anche $P(R3)$ dovrebbe risultare $1/2$ ma non riesco a dimostrarlo...se uso la partizione dell'evento certo (R1$uu$B1) mi mancherebbero informazioni sulla seconda estrazione, e così non potrei calcolarmi $P(R3|B1)$ e$ P(R3|R1)$...

Analogamente se uso la partizione dell'evento certo $(R2uuB2)$ mi mancherebbero informazioni sulla prima estrazione....come operare?

[K.Lomax]

Non so tu come abbia formalizzato il problema, ma è possibile farlo tramite il teorema delle probabilità condizionate. Infatti,

[tex]Pr\{R_2\}=Pr\{R_2|R_1\}Pr\{R_1\}+Pr\{R_2|B_1\}Pr\{B_1\}=\frac{2}{3} \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex]

Per il secondo, in maniera analoga,

[tex]Pr\{R_3\}=Pr\{R_3|R_2,R_1\}Pr\{R_2,R_1\}+Pr\{R_3|R_2,B_1\}Pr\{R_2,B_1\}+Pr\{R_3|B_2,R_1\}Pr\{B_2,R_1\}+Pr\{R_3|B_2,B_1\}Pr\{B_2,B_1\}=\\[/tex]
[tex]=\frac{3}{4} Pr\{R_2\}Pr\{R_1\}+\frac{1}{2} Pr\{R_2\}Pr\{B_1\}+\frac{1}{2} Pr\{B_2\}Pr\{R_1\}+\frac{1}{4} Pr\{B_2\}Pr\{B_1\}\\[/tex][tex]=\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex]

come da te intuito.