Problema calcolo combinatorio su lancio n dadi
Salve a tutti,
il mio problema generale è questo:
il soggetto A lancia n dadi a 6 facce definendo successo ogni lancio con risultato > k (k compreso tra 1 e 5)
il soggetto B lancia m dadi a 6 facce definendo successo ogni lancio con risultato > h o più (h compreso tra 1 e 5)
definire l'esatta probabilità che il soggetto A ottenga un numero di successi maggiore rispetto al soggetto B.
ho cercato un po' ma non sono riuscito a trovare una soluzione generale, quindi ho dato arbitrariamente dei valori ad n, m, k ed h e ho provato con quello che so.
n=17
k=3
m=7
h=2
per la coppia n=17 e k=3 ho costruito la probabilità esatta di ottenere n successi, n-1 successi e così via fino a n-n e ci sono riuscito abbastanza facilmente Pi=(n!/(i!*(n-i)!))/(6/3)^n
con i che varia da 0 a n
pensavo a questo punto di costruire la stessa gaussiana per la coppia m=7 e h=2 ma sono andato in pappa perchè avendo più possibilità di ottenere un successo (2/3) la mia gaussiana dovrebbe essere spostata verso il 7 e quella formula li mi da solo risultati simmetrici.
al di là del fatto che mi sono bloccato nella risoluzione pensavo una volta ottenuta la mia seconda lista di probabilità di dare risposta definitiva al problema generale facendo
\(\sum \) (Pi * \(\sum \)Pj )
con i che varia da 0 ad m e si riferisce ai lanci del soggetto B
e j che varia da 0 a i-1 e si riferisce ai lanci del soggetto A
cosa ne pensate?
il mio problema generale è questo:
il soggetto A lancia n dadi a 6 facce definendo successo ogni lancio con risultato > k (k compreso tra 1 e 5)
il soggetto B lancia m dadi a 6 facce definendo successo ogni lancio con risultato > h o più (h compreso tra 1 e 5)
definire l'esatta probabilità che il soggetto A ottenga un numero di successi maggiore rispetto al soggetto B.
ho cercato un po' ma non sono riuscito a trovare una soluzione generale, quindi ho dato arbitrariamente dei valori ad n, m, k ed h e ho provato con quello che so.
n=17
k=3
m=7
h=2
per la coppia n=17 e k=3 ho costruito la probabilità esatta di ottenere n successi, n-1 successi e così via fino a n-n e ci sono riuscito abbastanza facilmente Pi=(n!/(i!*(n-i)!))/(6/3)^n
con i che varia da 0 a n
pensavo a questo punto di costruire la stessa gaussiana per la coppia m=7 e h=2 ma sono andato in pappa perchè avendo più possibilità di ottenere un successo (2/3) la mia gaussiana dovrebbe essere spostata verso il 7 e quella formula li mi da solo risultati simmetrici.
al di là del fatto che mi sono bloccato nella risoluzione pensavo una volta ottenuta la mia seconda lista di probabilità di dare risposta definitiva al problema generale facendo
\(\sum \) (Pi * \(\sum \)Pj )
con i che varia da 0 ad m e si riferisce ai lanci del soggetto B
e j che varia da 0 a i-1 e si riferisce ai lanci del soggetto A
cosa ne pensate?
Risposte
"Wlatt":
il soggetto A lancia n dadi a 6 facce definendo successo ogni lancio con risultato > k (k compreso tra 1 e 5)
il soggetto B lancia m dadi a 6 facce definendo successo ogni lancio con risultato > h o più (h compreso tra 1 e 5)
cosa ne pensate?
immagino che k e h compresi fra 1 e 5 sia un refuso....intendevi fra 1 e 6.
Ciò premesso, il problema è davvero semplice. Le due distribuzioni sono due binomiali indipendenti con i seguenti parametri:
$ mu_(x)=np$
$ sigma_(x)^2=npq $
E similmente per Y
La soluzione generale esatta richiesta dal testo è la seguente:
$ P(X>Y)=sum^(n) sum_(i>j)^(m)((n), (i)) p_(x)^i q_(x)^(n-i)((m), (j)) p_(y)^j q_(y)^(m-j) $
Esempio:
X lancia 5 volte il dado e vince se fa più di 3 $rarr p_(x)=1/2$
Y lancia 7 volte il dado e vince se fa più di 4 $rarr p_(y)=1/3$
La $P(X>Y)$ è:
Per n e m sufficientemente grandi, come hai intuito, si può utilizzare un'approssimazione gaussiana. A tale scopo è sufficiente che $ np_(x)>=5$ e $m p_(y)>=5$
A questo punto il problema è banale perché si riduce a calcolare $ P (X> Y)=P(X-Y> 0) $
Ma per la proprietà riproduttiva della gaussiana la variabile $(X-Y) $ è ancora gaussiana di media $ mu_(x)-mu_(y) $ e varianza $ sigma_(x)^2+sigma_(y)^2$ e quindi con l'uso delle tavole il problema è risolto.
Riprendendo il tuo esempio:
X: $n=17$ successo se il punteggio è maggiore di 3 -> $p_(x)=1/2$
Y: $m=7$ successo se il punteggio è maggiore di 2 -> $p_(y)=2/3$
calcolando la probabilità esatta $P(X>Y)=91.84%$
ma ci vuole un foglio elettronico...a mano ci metti una settimana.
Siamo un po' al limite per l'approssimazione della gaussiana, dato che per la variabile Y $mp=4.67$
i dati che ci servono per la distribuzione gaussiana sono i seguenti:
$E(x)=8.5$
$E(y)=4.67$
$V(x)=4.25$
$V(y)=1.56$
quindi la nostra variabile $(X-Y)~N(3.83;5.81)$
Essendo un po' al limite con la grandezza di m,n applichiamo una correzione per continuità e otteniamo
$P(X>Y)=P(X-Y>0)=1-P{X-Y<=0}=1-P{Z<=(0.5-3.83)/sqrt(5.81)}=0.9167$
che è una grande approssimazione!.....e senza perdere tempo in noiosi conteggi
Ciao
Ciao Tommik,
ti ringrazio molto sei stato risolutivo!
purtroppo non ricordavo gran che di calcolo combinatorio e ho dovuto ristudiarmi come funzionano le distribuzioni binomiali.. in ogni caso ora posso risolvere il mio problema, giusto per amor di precisione k e h compresi tra 1 e 5 non è un refuso ma condizione necessaria alla possibilità di avere successo in ogni caso.
ti ringrazio molto sei stato risolutivo!
purtroppo non ricordavo gran che di calcolo combinatorio e ho dovuto ristudiarmi come funzionano le distribuzioni binomiali.. in ogni caso ora posso risolvere il mio problema, giusto per amor di precisione k e h compresi tra 1 e 5 non è un refuso ma condizione necessaria alla possibilità di avere successo in ogni caso.
Sì ovvio k e h compresi fra 1 e 5
(Che pirla che sono!)
...a parziale scusante stavo fra un aereo e l'altro....hai visto l'orario??
Comunque la soluzione è giusta!
Alla prox
(Che pirla che sono!)
...a parziale scusante stavo fra un aereo e l'altro....hai visto l'orario??
Comunque la soluzione è giusta!
Alla prox
Ma non è fra $0$ e $5$ ? Altrimenti quando esce l'uno è un insuccesso ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo