Problema calcolo combinatorio - Funzioni; Modi di sedersi di n persone.
Buongiorno a tutti,
sto provando a risolvere alcuni esercizi non molto complicati riguardanti il calcolo combinatorio.
Nonostante però riesca a sviluppare un ragionamento sensato, i risultati sono numeri negativi e dunque non accettabili. Qualcuno saprebbe indicarmi il modo corretto di svolgere questi quesiti?
Numero 1
Siano A = {1,2,3,4,5) e B= {1,2,3,4}. Determinare:
(a) Quante sono le funzioni f: A -› B tali che f(1) ‡ 1?
(b) Quante sono le funzioni f: A -› B tali che f(1) ‡ f(2)?
Riguardo la a), ho ottenuto il seguente risultato (3^4)*4, poiché ogni elemento di A può essere associato a 4 valori di B tranne l'elemento 1 di A, ai quali ne posso associare 3.
La b), invece, seguendo il ragionamento analogo, mi restituisce lo stesso risultato, [formule](3^4)*4[/formule].
Ho pensato che per f(1) ho a disposizione 4 scelte fra i valori in B, mentre per f(2) solamente 4-3=1, mentre per i restanti elementi di A posso associare ognuno dei 4 valori di B. Tuttavia, trovo alquanto strano che la soluzione di b) sia uguale a quella di a)...
Numero 2
All'università vengono invitati 8 professori (4 uomini e 4 donne) per tenere una conferenza in aula magna
e si siedono dietro un cattedra rettangolare.
a) In quanti modi si possono sedere i professori in modo tale che 2 uomini o 2 donne non siedano
mai vicini.
b) In quanti modi possono sedersi i professori in modo tale che 2 donne non siedano mai vicine.
Per quanto riguarda a), ho fatto ricorso ad una sottrazione insiemistica: ai modi in cui posso far sedere, indipendentemente dal genere, i professori, ho sottratto i modi in cui posso sistemare i professori in modo che 2 uomini e due donne siedano vicini (ovvero il negato di quanto chiesto dalla traccia).
Ho dunque impostato la stringa tipo come segue: U-U-D-D-U-U-D-D, applicando le disposizioni senza ripetioni, ottenendo 576 come risultato, che in seguito ho moltiplicato per 2 (potevo far cominciare la stringa anche da D-D- ecc.)
Passando al punto b), non ho alcuna idea di come procedere. Se 2 donne non devono sedere vicine, ciò implica che anche 4 non possono sedere vicine? Non so se interpretare "esattamente 2 donne non siedano mai vicine" oppure "2 donne no, ma 3,4 donne si".
Vi ringrazio anticipatamente per la vostra pazienza!
sto provando a risolvere alcuni esercizi non molto complicati riguardanti il calcolo combinatorio.
Nonostante però riesca a sviluppare un ragionamento sensato, i risultati sono numeri negativi e dunque non accettabili. Qualcuno saprebbe indicarmi il modo corretto di svolgere questi quesiti?
Numero 1
Siano A = {1,2,3,4,5) e B= {1,2,3,4}. Determinare:
(a) Quante sono le funzioni f: A -› B tali che f(1) ‡ 1?
(b) Quante sono le funzioni f: A -› B tali che f(1) ‡ f(2)?
Riguardo la a), ho ottenuto il seguente risultato (3^4)*4, poiché ogni elemento di A può essere associato a 4 valori di B tranne l'elemento 1 di A, ai quali ne posso associare 3.
La b), invece, seguendo il ragionamento analogo, mi restituisce lo stesso risultato, [formule](3^4)*4[/formule].
Ho pensato che per f(1) ho a disposizione 4 scelte fra i valori in B, mentre per f(2) solamente 4-3=1, mentre per i restanti elementi di A posso associare ognuno dei 4 valori di B. Tuttavia, trovo alquanto strano che la soluzione di b) sia uguale a quella di a)...
Numero 2
All'università vengono invitati 8 professori (4 uomini e 4 donne) per tenere una conferenza in aula magna
e si siedono dietro un cattedra rettangolare.
a) In quanti modi si possono sedere i professori in modo tale che 2 uomini o 2 donne non siedano
mai vicini.
b) In quanti modi possono sedersi i professori in modo tale che 2 donne non siedano mai vicine.
Per quanto riguarda a), ho fatto ricorso ad una sottrazione insiemistica: ai modi in cui posso far sedere, indipendentemente dal genere, i professori, ho sottratto i modi in cui posso sistemare i professori in modo che 2 uomini e due donne siedano vicini (ovvero il negato di quanto chiesto dalla traccia).
Ho dunque impostato la stringa tipo come segue: U-U-D-D-U-U-D-D, applicando le disposizioni senza ripetioni, ottenendo 576 come risultato, che in seguito ho moltiplicato per 2 (potevo far cominciare la stringa anche da D-D- ecc.)
Passando al punto b), non ho alcuna idea di come procedere. Se 2 donne non devono sedere vicine, ciò implica che anche 4 non possono sedere vicine? Non so se interpretare "esattamente 2 donne non siedano mai vicine" oppure "2 donne no, ma 3,4 donne si".
Vi ringrazio anticipatamente per la vostra pazienza!
Risposte
"pasquale60":
Siano A = {1,2,3,4,5) e B= {1,2,3,4}. Determinare:
(a) Quante sono le funzioni f: A -› B tali che f(1) ‡ 1?
Riguardo la a), ho ottenuto il seguente risultato (3^4)*4, poiché ogni elemento di A può essere associato a 4 valori di B tranne l'elemento 1 di A, ai quali ne posso associare 3.
Vuoi dire $3*4^4$?
"pasquale60":
Siano A = {1,2,3,4,5) e B= {1,2,3,4}. Determinare:
(b) Quante sono le funzioni f: A -› B tali che f(1) ‡ f(2)?
La b), invece, seguendo il ragionamento analogo, mi restituisce lo stesso risultato, [formule](3^4)*4[/formule].
Anche qui, volevi dire $3*4^4$?
"pasquale60":
All'università vengono invitati 8 professori (4 uomini e 4 donne) per tenere una conferenza in aula magna
e si siedono dietro un cattedra rettangolare.
a) In quanti modi si possono sedere i professori in modo tale che 2 uomini o 2 donne non siedano
mai vicini.
La risposta non è 2?
"pasquale60":
Non so se interpretare "esattamente 2 donne non siedano mai vicine"
Quasi sicuramente sì.
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