Problema binomiale: variabile casuale maggiore di un certo valore

[francyiato]

Buongiorno sto svolgendo un esercizio, ma non riesco a fare la parte finale:

Si eseguono ora $1000$ fit dove le $10$ coppie $(x_i, y_i, σ_i)$, sono diverse, ma sempre estratte dalla stessapopolazione. Qual è la probabilità che in almeno 15 interpolazioni fit si ottenga un $χ^2$ maggiore di 17.5 (sempre nell’ipotesi di linearità soddisfatta)?
$P(\chi^2 >17.5) = 0.025$ (valore trovato dalle tabelle del $\chi^2$ con $\nu = 8$)

La soluzione è questa:

A questo punto la probabilità che su n interpolazioni si ottenga k-volte $χ^2 > 17.5$ e $B(k|n, p)$.
Questa binomiale ha valore atteso pari a $E[k] = n · p ∼ 25$ e può essere ben approssimata da una
distribuzione normale $(np, nq > 10)$. La probabilità cercata è dunque:
$P(z >\frac{15 − np}{\sqrt{np}}) = 97.7%$

Ho due domande:
- Che formula ha applicato?
- Sebbene sia poco intelligente e veloce, posso calcolarmi la binomiale per 0, 1, 2, ..., 14 successi, sommare le probabilità, sottrarre questo numero a 1 e trovarmi la probabilità richiesta?

Grazie!

[Lo_zio_Tom]

"francyiato":
- Che formula ha applicato?

il teorema del limite centrale...con tre approssimazioni da evitare, secondo me.

Senza la sottintesa approssimazione di $q=1$ ed utilizzando il necessario fattore di correzione verrebbe

$\mathbb{P}[Z>(14.5-np)/sqrt{npq}]=\mathbb{P}[Z> -2.175]~~98.52%$

"francyiato":

- Sebbene sia poco intelligente e [soprattutto poco, n.d.m.] veloce,

ovviamente certo che trovi lo stesso risultato, anzi trovi quello esatto. Ecco i calcoli






come vedi il valore di 97.7% del tuo libro, approssimazione dell'approssimazione dell'approssimazione del risultato esatto non è proprio una "perla di approssimazione" ma con le dovute cautele statistiche ho trovato facilmente 98.52% che è molto vicino al risultato esatto di 99.00%

^^^^^^^^^^^^^^^

tieni presente che

1. il risultato della chi quadro non è proprio 0.025 ma circa 0.025304

2. l'approssimazione di una binomiale con una distribuzione continua ha bisogno del fattore di correzione; $n=1000$ non è sufficientemente grande per evitare di usarlo

3. supporre che $q=0.974696~~1$ è un'approssimazione grossolana, inutile e dannosa per il risultato

[francyiato]

$ \mathbb{P}[Z>(14.5-np)/sqrt{npq}]=\mathbb{P}[Z> -2.175]~~98.52% $

\[
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}
\]
La formula generale che hai utilizzato sarebbe questa? Che mi pare che noi abbiamo chiamato Z-score

Per quanto riguarda il fattore di correzione, lo abbiamo solamente accennato, ma nella pratica non lo utilizziamo. Anche se, come mi hai fatto notare, in assenza di quello e in presenza di tutte queste approssimazioni vengono dei risultati molto diversi dal valore corretto. Ad ogni modo: stai parlando di questo fattore correttivo?https://it.wikipedia.org/wiki/Correzione_di_continuit%C3%A0

Infine, ti invidio un sacco per i calcoli con Excel , purtroppo io me li devo fare tutti a mano con la calcolatrice, anche perché all'esame potrò usare solo quella. Però se non è molto difficile devo imparare anche io a farli col computer.

[Lo_zio_Tom]

"francyiato":
\[
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}
\]
La formula generale che hai utilizzato sarebbe questa?

no, ho usato questo teorema

..poi lo z-score per fare i calcoli con le tavole

Sì, il fattore di correzione è quello

[francyiato]

"tommik":no, ho usato questo teorema

Grazie, non lo conoscevo questo teorema! Ora me lo studio

Leggendo la pagina del fattore correttivo mi pare di capire che va sottratto $0.5$ nel momento in cui cerchiamo la probabilità che una v.a. sia maggiore di un determinato valore e va aggiunto se stiamo cercando la probabilità che la v.a. sia minore di un determinato valore. Confermi?