Problema avvincente
Sembra apparentemente semplice ma vediamo voi come lo risolvereste:
Fornendo 4 carte, 1 per volta, da un mazzo di 40 carte napoletane, qual è la probabilità che le 4 carte siano dello stesso seme e fornite in ordine crescente (es. 4, 7, 8, 10)?
Io ho pensato di risolverlo come intersezione dei due eventi:
A(carte dello stesso seme)
B(carte ordinate)
da qui poi applico la probabilità condizionata:
Pr(B|A)*Pr(A)
Ora la Pr(A) è di facile calcolo in quanto voglio che le carte siano dello stesso seme, dunque la prima può essere qualsiasi, le altre tre la devono seguire e dunque:
Pr(A)=1*(9/39)*(8/38)*(7/37)
Il problema è calcolare la Pr(B|A) e ho pensato: ho che sono tutte dello stesso seme, e dunque dovrò avere:
indicando con I=1° carta II=2° carta e così via:
Pr(I$<=$7 $nn$ II>I $nn$ III>II $nn$ IV>III)
ma da qui parte il dramma, perchè con queste quattro intersezioni non so come muovermi, se uso ancora la probabilità condizionata il problema diventa sempre più articolato e non ne esco fuori...idee?
Fornendo 4 carte, 1 per volta, da un mazzo di 40 carte napoletane, qual è la probabilità che le 4 carte siano dello stesso seme e fornite in ordine crescente (es. 4, 7, 8, 10)?
Io ho pensato di risolverlo come intersezione dei due eventi:
A(carte dello stesso seme)
B(carte ordinate)
da qui poi applico la probabilità condizionata:
Pr(B|A)*Pr(A)
Ora la Pr(A) è di facile calcolo in quanto voglio che le carte siano dello stesso seme, dunque la prima può essere qualsiasi, le altre tre la devono seguire e dunque:
Pr(A)=1*(9/39)*(8/38)*(7/37)
Il problema è calcolare la Pr(B|A) e ho pensato: ho che sono tutte dello stesso seme, e dunque dovrò avere:
indicando con I=1° carta II=2° carta e così via:
Pr(I$<=$7 $nn$ II>I $nn$ III>II $nn$ IV>III)
ma da qui parte il dramma, perchè con queste quattro intersezioni non so come muovermi, se uso ancora la probabilità condizionata il problema diventa sempre più articolato e non ne esco fuori...idee?
Risposte
Ciao, il tuo approccio, anche se teoricamente giusto, sembra portare a calcoli molto lunghi per valutare quella probabilità condizionata.
Ti suggerisco di provare un approccio globale, facendo il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.
Tieni presente che le disposizioni contano le configurazioni totali, mentre le combinazioni contano le configurazioni ordinate...
Ti suggerisco di provare un approccio globale, facendo il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.
Tieni presente che le disposizioni contano le configurazioni totali, mentre le combinazioni contano le configurazioni ordinate...
ciao cenzo innanzitutto grazie per avermi dato riposta. Avevo inizialmente pensato anche io di fare così, ma essendo due gli eventi da tenere in considerazione mi chiedevo come posso fare con il conteggio. Se usassi il modello ipergeometrico questo andrebbe benissimo per valutare le probabilità di estrarre 4 carte dello stesso seme, ma per la crescenza come la metto? Grazie spero tu possa chiarire i miei dubbi
Ti propongo un esempio con numeri più "abbordabili".
Supponiamo di avere un mazzo di 5 carte, tutte dello stesso seme, e di estrarne 3.
Quante sono le possibili estrazioni diverse? $5*4*3=60$ (sono le disposizioni di 5 elementi presi 3 alla volta).
Tra di essi, ad esempio, ci sono: 123, 132, 213, 231, 312, 321, 124, 142,...
Come vedi ci sono sia i casi in cui le carte compaiono ordinate, sia i casi in cui le stesse carte compaiono disordinate.
Ora, quanti sono i casi favorevoli? Sono $(5*4*3)/(3!)=60/6=10$
Ovvero: 123,124,125,134,135,145,234,235,245,345
Sono le combinazioni di 5 elementi presi 3 alla volta, questo proprio perchè con le combinazioni consideriamo ogni configurazione una sola volta, quindi come se fosse ordinata, senza permutare i suoi elementi.
Prova ad esetendere ora il ragionamento al tuo caso.
Ciao
Supponiamo di avere un mazzo di 5 carte, tutte dello stesso seme, e di estrarne 3.
Quante sono le possibili estrazioni diverse? $5*4*3=60$ (sono le disposizioni di 5 elementi presi 3 alla volta).
Tra di essi, ad esempio, ci sono: 123, 132, 213, 231, 312, 321, 124, 142,...
Come vedi ci sono sia i casi in cui le carte compaiono ordinate, sia i casi in cui le stesse carte compaiono disordinate.
Ora, quanti sono i casi favorevoli? Sono $(5*4*3)/(3!)=60/6=10$
Ovvero: 123,124,125,134,135,145,234,235,245,345
Sono le combinazioni di 5 elementi presi 3 alla volta, questo proprio perchè con le combinazioni consideriamo ogni configurazione una sola volta, quindi come se fosse ordinata, senza permutare i suoi elementi.
Prova ad esetendere ora il ragionamento al tuo caso.
Ciao
E' vero! Vediamo se allora mi è chiaro. Io posso valutare la probabilità dell'evento intersezione come probabilità condizionata: Pr(B|A)*Pr(A)
A questo punto la Pr(A) la calcolo senza problemi, per quella di B|A ho il caso di un'estrazione di 4 carte tra 10 dello stesso seme. Se dunque uso il ragionamento da te esposto:
Pr(B|A)= C(10,4)/D(10,4) = 1/4! = 0,04166
A questo punto moltiplicando per Pr(A) ho risolto il problema. E' giusto? Credo che fili...ti ringrazio per il tempo che mi hai concesso e per l'enorme aiuto che mi hai dato!
A questo punto la Pr(A) la calcolo senza problemi, per quella di B|A ho il caso di un'estrazione di 4 carte tra 10 dello stesso seme. Se dunque uso il ragionamento da te esposto:
Pr(B|A)= C(10,4)/D(10,4) = 1/4! = 0,04166
A questo punto moltiplicando per Pr(A) ho risolto il problema. E' giusto? Credo che fili...ti ringrazio per il tempo che mi hai concesso e per l'enorme aiuto che mi hai dato!
Si, va bene come hai fatto.
Io avevo pensato di scavalcare completamente la probabilità condizionata, considerando $D_(40,4)$ casi possibili e $C_(10,4)$ casi favorevoli per ogni seme, da cui una probabilità: $(4*C_(10,4))/(D_(40,4))$
Se fai i conti vedi che il risultato è identico.
Prego, ciao.
Io avevo pensato di scavalcare completamente la probabilità condizionata, considerando $D_(40,4)$ casi possibili e $C_(10,4)$ casi favorevoli per ogni seme, da cui una probabilità: $(4*C_(10,4))/(D_(40,4))$
Se fai i conti vedi che il risultato è identico.
"kaarot89":
ti ringrazio per il tempo che mi hai concesso e per l'enorme aiuto che mi hai dato!
Prego, ciao.
Perfetto...infatti il tuo ragionamento è anche più elegante forse. Ad ogni modo (se posso, ma se non va bene fai come se non avessi detto niente) per non aprire altri topic volevo chiederti alcune cose. La speranza matematica di una somma di v.a. è sempre la somma delle singole speranze matematiche e su questo va bene. Ma se ho la differenza devo valutare la differenza delle sp. matematiche? In più la varianza della differenza di due v.a. la scrivo sempre come somma delle varianze - 2 volte la covarianza? Grazie e scusa ancora!
Si, è come dici.
Ciao
Ciao
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