Problema ammissione alla normale
Su un piano cartesiano `e disposta una rete metallica costituita da fili rettilinei
che, incrociandosi perpendicolarmente, formano quadrati di lato
unitario. La rete `e disposta con i fili paralleli agli assi coordinati e gli
incroci nei punti con coordinate intere.
Una formica si muove lungo la rete, scegliendo a caso ad ogni incrocio
quale direzione prendere, ma sempre nel verso positivo degli assi
coordinati.
(a) La formica ha percorso un cammino dall’origine $(0;0$) al punto di
coordinate $(m;n)$, con $m,n>0$. Qual `e la probabilit`a che sia passata
per un dato punto di coordinate (i; j)?
(b) Per quali punti $(i; j)$ del rettangolo di vertici $(0;0)$, $(m;0)$, $(0;n)$,
$(m;n)$ tale probabilit`a `e minima?
Io ho ragionato in questi termini. Ditemi se sto dicendo cavolate o meno.
Le coordinate del punto $(i,j)$ si possono trovare rispetto a quelle del punto $(m,n)$ in 9 posizioni diverse:
$i
$in$
$i=m$ e $j>n$
$i>m$ e $j>n$
$i>m$ e $j
Di queste 9 possibilità soltanto le prime 4 rispecchiano le caratteristiche del problema, poichè se ad esempio l'ascissa di $(i,j)$ è maggiore di quella di $(m,n)$ la formica non passerebbe sicuramente per $(i,j)$ dato che non può nè andare verso sinistra nè verso il basso. Questo significa che la probabilità che io devo cercare è uguale a $4/9$ moltiplicato per la probabilità che la formica passi per $(i,j)$.
Premesso questo andiamo a calcolare tale probabilità. Supponendo che il punto $(i,j)$ si trovi in corrispondenza dei punti $(1,0)$ o $(0,1)$ la probabilità che ha la formica di raggiungerlo è uguale a $1/2$. Facilmente si può calcolare che la probabilità che esso si trovi nel punto $(1,1)$ è uguale a $2/4=1/2$, che esso si trovi nei punti $(2,0)$ e $(0,2)$ è uguale a $1/4$, che esso si trovi nei punti $(2,1)$ e $(1,2)$ è uguale a $3/8$ e che esso si trovi nei punti $(3,0)$ e $(0,3)$ è uguale a $1/ 8$. Tracciando poi delle rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante che intersechino i punti in cui è possibile trovare il punto $(i,j)$ mi sono accorto che le probabilità che $(i,j)$ si trovasse nei punti di una stessa retta avevano lo stesso denominatore e per numeratore i coefficienti binomiali, della potenza corrispondente al denominatore, di un generico binomio. Ad esempio nella retta $y=-x+3$ si trovano i punti $(3,0)$ $(2,1)$ $(1,2)$ e $(0,3)$ le cui probabilità che vi si trovi il punto $(i,j)$ sono rispettivamente $1/8$ $3/8$ $3/8$ e $1/8$ ossia frazioni che hanno lo stesso denominatore e per numeratore i coefficienti binomiali del cubo di un generico binomio (a+b). Il denominatore non è altro che $2$ elevato all'ordinata all'origine della retta considerata, in questo caso $2^3=8$. Il numeratore sarà l'ascissa-esimo coefficiente binomiale del binomio elevato all'ordinata all'origine. Ad esempio per il punto $(2,1)$ il numeratore sarà $((3),(2))$. La stessa cosa vale per tutte le altre rette e per le corrispondenti probabilità.
Considerando adesso il generico punto $(i,j)$ e la retta parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante passante per esso, essa avrà equazione $y=-x+k$ dove $k$ è l'ordinata all'origine della retta. Facendo il passaggio per il punto troviamo che:
$j=-i+k$
$k=i+j$
e che quindi la retta ha equazione $y=-x+i+j$ dove $i+j$ è l'ordinata all'origine. Quindi, per quanto osservato prima, la probabilità sarà espressa da una frazione avente per denominatore 2 elevato all'ordinata all'origine, cioè $2^(i+j)$ e per numeratore l'i-esimo coefficiente binomiale dello sviluppo di $(a+b)^(i+j)$ ossia $((i+j),(i))$.
Quindi la probabilità che la formica passi per $(i,j)$ sarà:
$p_(i,j)=(((i+j),(i)))/2^(i+j)$
e la probabilità che passando per $(i,j)$ giunga al punto $(m,n)$ sarà:
$p=4/9*p_(i,j)=4/9*(((i+j),(i)))/2^(i+j)$
che, incrociandosi perpendicolarmente, formano quadrati di lato
unitario. La rete `e disposta con i fili paralleli agli assi coordinati e gli
incroci nei punti con coordinate intere.
Una formica si muove lungo la rete, scegliendo a caso ad ogni incrocio
quale direzione prendere, ma sempre nel verso positivo degli assi
coordinati.
(a) La formica ha percorso un cammino dall’origine $(0;0$) al punto di
coordinate $(m;n)$, con $m,n>0$. Qual `e la probabilit`a che sia passata
per un dato punto di coordinate (i; j)?
(b) Per quali punti $(i; j)$ del rettangolo di vertici $(0;0)$, $(m;0)$, $(0;n)$,
$(m;n)$ tale probabilit`a `e minima?
Io ho ragionato in questi termini. Ditemi se sto dicendo cavolate o meno.
Le coordinate del punto $(i,j)$ si possono trovare rispetto a quelle del punto $(m,n)$ in 9 posizioni diverse:
$i
$i
$i=m$ e $j>n$
$i>m$ e $j>n$
$i>m$ e $j
Di queste 9 possibilità soltanto le prime 4 rispecchiano le caratteristiche del problema, poichè se ad esempio l'ascissa di $(i,j)$ è maggiore di quella di $(m,n)$ la formica non passerebbe sicuramente per $(i,j)$ dato che non può nè andare verso sinistra nè verso il basso. Questo significa che la probabilità che io devo cercare è uguale a $4/9$ moltiplicato per la probabilità che la formica passi per $(i,j)$.
Premesso questo andiamo a calcolare tale probabilità. Supponendo che il punto $(i,j)$ si trovi in corrispondenza dei punti $(1,0)$ o $(0,1)$ la probabilità che ha la formica di raggiungerlo è uguale a $1/2$. Facilmente si può calcolare che la probabilità che esso si trovi nel punto $(1,1)$ è uguale a $2/4=1/2$, che esso si trovi nei punti $(2,0)$ e $(0,2)$ è uguale a $1/4$, che esso si trovi nei punti $(2,1)$ e $(1,2)$ è uguale a $3/8$ e che esso si trovi nei punti $(3,0)$ e $(0,3)$ è uguale a $1/ 8$. Tracciando poi delle rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante che intersechino i punti in cui è possibile trovare il punto $(i,j)$ mi sono accorto che le probabilità che $(i,j)$ si trovasse nei punti di una stessa retta avevano lo stesso denominatore e per numeratore i coefficienti binomiali, della potenza corrispondente al denominatore, di un generico binomio. Ad esempio nella retta $y=-x+3$ si trovano i punti $(3,0)$ $(2,1)$ $(1,2)$ e $(0,3)$ le cui probabilità che vi si trovi il punto $(i,j)$ sono rispettivamente $1/8$ $3/8$ $3/8$ e $1/8$ ossia frazioni che hanno lo stesso denominatore e per numeratore i coefficienti binomiali del cubo di un generico binomio (a+b). Il denominatore non è altro che $2$ elevato all'ordinata all'origine della retta considerata, in questo caso $2^3=8$. Il numeratore sarà l'ascissa-esimo coefficiente binomiale del binomio elevato all'ordinata all'origine. Ad esempio per il punto $(2,1)$ il numeratore sarà $((3),(2))$. La stessa cosa vale per tutte le altre rette e per le corrispondenti probabilità.
Considerando adesso il generico punto $(i,j)$ e la retta parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante passante per esso, essa avrà equazione $y=-x+k$ dove $k$ è l'ordinata all'origine della retta. Facendo il passaggio per il punto troviamo che:
$j=-i+k$
$k=i+j$
e che quindi la retta ha equazione $y=-x+i+j$ dove $i+j$ è l'ordinata all'origine. Quindi, per quanto osservato prima, la probabilità sarà espressa da una frazione avente per denominatore 2 elevato all'ordinata all'origine, cioè $2^(i+j)$ e per numeratore l'i-esimo coefficiente binomiale dello sviluppo di $(a+b)^(i+j)$ ossia $((i+j),(i))$.
Quindi la probabilità che la formica passi per $(i,j)$ sarà:
$p_(i,j)=(((i+j),(i)))/2^(i+j)$
e la probabilità che passando per $(i,j)$ giunga al punto $(m,n)$ sarà:
$p=4/9*p_(i,j)=4/9*(((i+j),(i)))/2^(i+j)$
Risposte
Wow!! Grazie mille per avermi trovato il topic.
Tuttavia ho letto che è diverso dal mio. Volevo sapere il mio ragionamento va bene.
Tuttavia ho letto che è diverso dal mio. Volevo sapere il mio ragionamento va bene.
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