Problema

[clarkk]

Si hanno due urne così composte:
U1: contiene 10 palline nere e 5 palline bianche
U2: contiene 8 palline nere e 10 palline bianche
si lancia un dado e se escono i numeri 1 o 2 si estrae una pallina dalla prima urna, altrimenti se ne estrae una dalla seconda. se questa prima pallina estratta è nera, allora la si rimette nell'urna e si estrae un'altra pallina dall'urna che non conteneva la prima. Nell'ipotesi che l'ultima pallina estratta, cioè la pallina visibile fuori dall'urna sia bianca, calcola la probabilità che essa provenga dalla prima urna.

io avevo pensato di fare così:
1) il dado ha 1/3 di probabilità di fare 1 o 2 (quindi urna 1) e 2/3 di fare altro (quindi urna 2)
2) probabilità di estrarre direttamente una bianca dalla U1: 1/3(dato dal dado)*5/15= 1/9
3) probabilità di estrarre una nera dalla U2= 2/3(dado)* 4/9=8/27
4) probabilità di estrarre una bianca dalla U1 in seguito all'estrazione di una nera dalla U2= 5/15*8/27=8/81
io poi ho sommato le probabilità dei passaggi 2 e 4
però non viene......

[Steven11]

Spostato nella sezione più adatta.

[clrscr]

Quale sarebbe il risultato?

[clrscr]

Comunque secondo me oltre al procedimento che hai eseguito, dovresti dividere per la probabilità che la pallina sia bianca.

Questo perchè la probabilità del problema può essere scritta come:
P[La pallina provvenga dalla prima urna | è bianca]=P[La pallina provvenga dalla prima urna è bianca]/ P[La pallina è bianca].

[clarkk]

non ho capito tanto..comunque dovrebbe venire 1/3

[Cheguevilla]

$P(B|U_1)=1/3*1/3+2/3*4/9*1/3=17/81$
Cioè, si pesca dalla prima urna e bianca dalla prima urna oppure, si pesca dalla seconda urna, nera, quindi bianca dalla seconda.

$P(B|U_2)=1/3*2/3*5/9+2/3*4/9=34/81$
Cioè, si pesca dalla seconda urna e bianca dalla seconda urna oppure, si pesca dalla prima urna, nera, quindi bianca dalla prima.

Per cui,
$P(B)=P(B|U_1)+P(B|U_2)=17/81+34/81$

Per il teorema di Bayes,
$P(U_1|B)=(P(BnnU_1))/(P(B))=(17/81)/(17/81+34/81)=1/3$

[el_pampa1]

"Cheguevilla":$P(B|U_1)=1/3*1/3+2/3*4/9*1/3=17/81$
Cioè, si pesca dalla prima urna e bianca dalla prima urna oppure, si pesca dalla seconda urna, nera, quindi bianca dalla seconda.

$P(B|U_2)=1/3*2/3*5/9+2/3*4/9=34/81$
Cioè, si pesca dalla seconda urna e bianca dalla seconda urna oppure, si pesca dalla prima urna, nera, quindi bianca dalla prima.

Per cui,
$P(B)=P(B|U_1)+P(B|U_2)=17/81+34/81$

Per il teorema di Bayes,
$P(U_1|B)=(P(BnnU_1))/(P(B))=(17/81)/(17/81+34/81)=1/3$

Sicuro??? A me vengono i conti diversi sulla probabilità della seconda urna... Cioè io farei
$P(B|U_2)=2/3*5/9+1/3*2/3*5/9=40/81$