Probabilità...semplice domanda!?
Ciao a tutti,
Mi sto divertendo o meglio chiudendo su questo semplice (credo) esercizio di probabilità:
torneo di tennis 2 giocatori A e B si sfidano in un game da 3 set dove per vincere occorre aggiudicarsi 2 set.
Il giocatore A ha 0.2 di probabilità di vincere nei primi 2 set, indipendentemente l'uno dall'altro. Qualora si arrivasse al terzo la sua probabilità salirebbe allo 0.5!
Ci sono diversi quesiti, ma prima di chiedere aiuto vorrei esporre il mio dubbio principale: (secondo me quello chiave)
L'evento: A vince il primo set
e l'evento:A vince il secondo set
Sono incompatibili?Secondo me si, poichè nella mia testa non possono realizzarsi simultaneamente..perchè prima si gioca il primo set e poi il secondo...
Ecco i quesiti:
le probabilità che vince A -
Se sono incompatibili mi viene da pensare che la probabilità sia 0.4 (cioè la somma delle 2 probabilità di vittoria del giocatore A nei 2 set) però non credo sia esatta perchè c'è anche la probabilità che A vinca giocando il terzo set. A questo punto mi sorge in mente questa ipotesi:
$(0.2*0.2)+(0.2*0.8*0.5)=0.12$
si arrivi al terzo set
Come dal processo precedente...
$0.2*0.8=0.16$
Aspetto vostri suggerimenti e consigli...
Grazie 1000 in anticipo!
Mi sto divertendo o meglio chiudendo su questo semplice (credo) esercizio di probabilità:
torneo di tennis 2 giocatori A e B si sfidano in un game da 3 set dove per vincere occorre aggiudicarsi 2 set.
Il giocatore A ha 0.2 di probabilità di vincere nei primi 2 set, indipendentemente l'uno dall'altro. Qualora si arrivasse al terzo la sua probabilità salirebbe allo 0.5!
Ci sono diversi quesiti, ma prima di chiedere aiuto vorrei esporre il mio dubbio principale: (secondo me quello chiave)
L'evento: A vince il primo set
e l'evento:A vince il secondo set
Sono incompatibili?Secondo me si, poichè nella mia testa non possono realizzarsi simultaneamente..perchè prima si gioca il primo set e poi il secondo...
Ecco i quesiti:
le probabilità che vince A -
Se sono incompatibili mi viene da pensare che la probabilità sia 0.4 (cioè la somma delle 2 probabilità di vittoria del giocatore A nei 2 set) però non credo sia esatta perchè c'è anche la probabilità che A vinca giocando il terzo set. A questo punto mi sorge in mente questa ipotesi:
$(0.2*0.2)+(0.2*0.8*0.5)=0.12$
si arrivi al terzo set
Come dal processo precedente...
$0.2*0.8=0.16$
Aspetto vostri suggerimenti e consigli...
Grazie 1000 in anticipo!
Risposte
P(A vince)=P(A vince il primo set)*P(A vince il secondo set)+P(A vince il primo set)*P(A perde il secondo set)*P(A vince il terzo set)*+P(A perde il primo set)*P(A vince il secondo set)*P(A vince il terzo set)
=0.2*0.2+0.2*0.8*0.5+0.8*0.2*0.5
=0.2*0.2+0.2*0.8*0.5+0.8*0.2*0.5
Ciao,
Prendendo atto del tuo suggerimento capisco che è possibile fare il prodotto delle probabilità pertanto immagino che si possano considerare gli eventi indipendenti ma non incompatibili, cioè possano accadere simultaneamente. E' proprio questa cosa che ancora mi sfugge. Forse intendiamo dire che all'interno del game si possono verificare simultaneamente tali eventi?
In ogni caso ti ringrazio del suggerimento chiave, oltre al fatto di considerare tutte le possibilità (combinazioni) per il calcolo. Esattamente come hai fatto tu per la vittoria di A.
A questo punto provo a rispondere a tutti i quesiti:
1) Vince A:
Come hai detto tu, quindi:
$(0.2*0.2)+(0.2*0.8*0.5)+(0.8*0.2*0.5)=0.2$ Questo risultato potrebbe essere commentato in qualche modo dato che è pari alle probabilità di vittoria di A nei primi 2 set?O è solo un caso?
2) Si arrivi al terzo set:
P(A vinca il primo e perda il sec)+P(A perda il primo e vinca in sec)=$(0.8*0.2)+(0.2*0.8)=0.32$
3) A vinca al terzo set:
Semplicemente le probabilità che si arrivi al terzo set e la probabilità che A vinca quest'ultimo, quindi:
$0.32*0.5=0.16$ Allo stesso risultato sarei giunto facendo le probabilità si arrivi al terzo set e vinca A cioè:
$(0.2*0.8*0.5)+(0.8*0.2*0.5)=0.16$
4) Il game duri 3 set, dato che vince A:
Su questa sono meno sicuro, ma credo che la probabilità sia uguale al punto precedente (0.16) poichè i set sono indipendenti l'uno dall'altro e perchè le probabilità al terzo set sono al 50%.
Altre considerazioni che vorrei condividere per mettere alla prova la mia comprensione sono quelle relative alle probabilità degli eventi negati:
1)L'evento negato è vince B
Infatti $1-0.2=0.8$ sono le probabilità che vinca B
2)In questo caso è che non si arrivi al terzo set:
anche qui facilmente è $1-0.32=0.68$
3)In questo caso l'evento negato è che A non vinca al terzo set, ma in questo caso non mi tornerebbero i conti infatti:
$1-0.16=0.84$. Ma facendo il processo inverso cioè calcolando le probabilità che A non vinca al terzo set non viene 0.84 ma bensi 0.16 in quanto arrivando al terzo set, probabilità di 0.32, la probabilità di vittoria è al 50%.
Quindi mi chiedo quel 0.84 che probabilità è?
4)Anche qui ho lo stesso problema...l'evento negato è che il game non duri 3 set dato che non vince A. Stesso problema visto sopra perchè
$1-0.16=0.84$ ma è diverso dal calcolo effettuato secondo le probabilità:
P(A vince il primo e il sec set)+P(B vince il primo e sec set):
$(0.2*0.2)+(0.8*0.8)=0.68$
A valle del ragionamento sugli eventi negati è chiaro che i punti 3 e 4 sono errati...
Grazie a tutti in anticipo!
Prendendo atto del tuo suggerimento capisco che è possibile fare il prodotto delle probabilità pertanto immagino che si possano considerare gli eventi indipendenti ma non incompatibili, cioè possano accadere simultaneamente. E' proprio questa cosa che ancora mi sfugge. Forse intendiamo dire che all'interno del game si possono verificare simultaneamente tali eventi?
In ogni caso ti ringrazio del suggerimento chiave, oltre al fatto di considerare tutte le possibilità (combinazioni) per il calcolo. Esattamente come hai fatto tu per la vittoria di A.
A questo punto provo a rispondere a tutti i quesiti:
1) Vince A:
Come hai detto tu, quindi:
$(0.2*0.2)+(0.2*0.8*0.5)+(0.8*0.2*0.5)=0.2$ Questo risultato potrebbe essere commentato in qualche modo dato che è pari alle probabilità di vittoria di A nei primi 2 set?O è solo un caso?
2) Si arrivi al terzo set:
P(A vinca il primo e perda il sec)+P(A perda il primo e vinca in sec)=$(0.8*0.2)+(0.2*0.8)=0.32$
3) A vinca al terzo set:
Semplicemente le probabilità che si arrivi al terzo set e la probabilità che A vinca quest'ultimo, quindi:
$0.32*0.5=0.16$ Allo stesso risultato sarei giunto facendo le probabilità si arrivi al terzo set e vinca A cioè:
$(0.2*0.8*0.5)+(0.8*0.2*0.5)=0.16$
4) Il game duri 3 set, dato che vince A:
Su questa sono meno sicuro, ma credo che la probabilità sia uguale al punto precedente (0.16) poichè i set sono indipendenti l'uno dall'altro e perchè le probabilità al terzo set sono al 50%.
Altre considerazioni che vorrei condividere per mettere alla prova la mia comprensione sono quelle relative alle probabilità degli eventi negati:
1)L'evento negato è vince B
Infatti $1-0.2=0.8$ sono le probabilità che vinca B
2)In questo caso è che non si arrivi al terzo set:
anche qui facilmente è $1-0.32=0.68$
3)In questo caso l'evento negato è che A non vinca al terzo set, ma in questo caso non mi tornerebbero i conti infatti:
$1-0.16=0.84$. Ma facendo il processo inverso cioè calcolando le probabilità che A non vinca al terzo set non viene 0.84 ma bensi 0.16 in quanto arrivando al terzo set, probabilità di 0.32, la probabilità di vittoria è al 50%.
Quindi mi chiedo quel 0.84 che probabilità è?
4)Anche qui ho lo stesso problema...l'evento negato è che il game non duri 3 set dato che non vince A. Stesso problema visto sopra perchè
$1-0.16=0.84$ ma è diverso dal calcolo effettuato secondo le probabilità:
P(A vince il primo e il sec set)+P(B vince il primo e sec set):
$(0.2*0.2)+(0.8*0.8)=0.68$
A valle del ragionamento sugli eventi negati è chiaro che i punti 3 e 4 sono errati...
Grazie a tutti in anticipo!
"G3nd4rM3":
1) Vince A:
Come hai detto tu, quindi:
$(0.2*0.2)+(0.2*0.8*0.5)+(0.8*0.2*0.5)=0.2$ Questo risultato potrebbe essere commentato in qualche modo dato che è pari alle probabilità di vittoria di A nei primi 2 set?O è solo un caso?
c'è un caso.
"G3nd4rM3":
2) Si arrivi al terzo set:
P(A vinca il primo e perda il sec)+P(A perda il primo e vinca in sec)=$(0.8*0.2)+(0.2*0.8)=0.32$
3) A vinca al terzo set:
Semplicemente le probabilità che si arrivi al terzo set e la probabilità che A vinca quest'ultimo, quindi:
$0.32*0.5=0.16$ Allo stesso risultato sarei giunto facendo le probabilità si arrivi al terzo set e vinca A cioè:
$(0.2*0.8*0.5)+(0.8*0.2*0.5)=0.16$
giusto.
"G3nd4rM3":
4) Il game duri 3 set, dato che vince A:
Su questa sono meno sicuro, ma credo che la probabilità sia uguale al punto precedente (0.16) poichè i set sono indipendenti l'uno dall'altro e perchè le probabilità al terzo set sono al 50%.
No.
\(\displaystyle =\frac{P(\text{A vince in 3set})}{P({\text{A vince}})}=\frac{0.16}{0.2}=\frac{4}{5} \)
"wnvl":
[quote="G3nd4rM3"]
4) Il game duri 3 set, dato che vince A:
Su questa sono meno sicuro, ma credo che la probabilità sia uguale al punto precedente (0.16) poichè i set sono indipendenti l'uno dall'altro e perchè le probabilità al terzo set sono al 50%.
No.
\(\displaystyle =\frac{P(\text{A vince in 3set})}{P({\text{A vince}})}=\frac{0.16}{0.2}=\frac{4}{5} \)[/quote]
Perfetto troppo carino!!
Ho capito tutto!
Grazie 1000!!!
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