Probabilità:La dama
Su una scacchiera classica della dama (8x8=64 caselle) si dispongono a caso 8 pedoni (si escluda che due pedoni possano insistere sulla stessa casella!) Qual' è la probabiltà che ci sia esattamente un solo pedone in ciascuna riga e in ciascuna colonna della scacchiera?
Ho disegnato la mia scacchiera e disposto in pedoni in diagonale ,le diagonali che posso formare sono 2 allora ho pensato che la probabilità potesse essere $16/64$ ma sono convita che il mio ragionamento è errato !
Ho disegnato la mia scacchiera e disposto in pedoni in diagonale ,le diagonali che posso formare sono 2 allora ho pensato che la probabilità potesse essere $16/64$ ma sono convita che il mio ragionamento è errato !
Risposte
Il testo ti chiede che ci sia un pedone in ciascuna riga e in ciascuna colonna: non dice che la riga e la colonna devono essere dello stesso "indice" quindi non hai solo quei due casi favorevoli.. Però ci siamo vicini!
Io ho ragionato nel modo seguente: ragionare con la scacchiera è piuttosto rognoso, quindi vediamolo come un array-vettore-lista-insieme di caselle consecutive (o come lo vuoi chiamare..
) monodimensionale. Quindi abbiamo questo vettore di 64 elementi e sostanzialmente la totalità dei casi è il numero delle combinazioni senza ripetizioni (dato che non vogliamo che due pedoni vadano sulla stessa casella) ovvero $$Bin(64,8) = 4426165368$$
A questo punto dobbiamo trovare i casi favorevoli.. Ho pensato: il primo pedone in quanti modi lo posso mettere? Ho 8 righe e 8 colonne libere, quindi $8*8=64$ posti.
Il secondo posso metterlo in una casella nelle 7 righe e nelle 7 colonne rimaste, quindi $7*7=49$ e così via.. Mettendo tutto insieme
$$\sum_{i=1}^8 i*i = 204$$
casi favorevoli.
In conclusione la probabilità è $204/4426165368 = 4.60896*10^-8$
Mentre sui casi totali sono abbastanza sicuro, sul numero dei casi favorevoli non troppo. Se qualcun altro ci viene in aiuto magari commentando il mio ragionamento..
Io ho ragionato nel modo seguente: ragionare con la scacchiera è piuttosto rognoso, quindi vediamolo come un array-vettore-lista-insieme di caselle consecutive (o come lo vuoi chiamare..
) monodimensionale. Quindi abbiamo questo vettore di 64 elementi e sostanzialmente la totalità dei casi è il numero delle combinazioni senza ripetizioni (dato che non vogliamo che due pedoni vadano sulla stessa casella) ovvero $$Bin(64,8) = 4426165368$$A questo punto dobbiamo trovare i casi favorevoli.. Ho pensato: il primo pedone in quanti modi lo posso mettere? Ho 8 righe e 8 colonne libere, quindi $8*8=64$ posti.
Il secondo posso metterlo in una casella nelle 7 righe e nelle 7 colonne rimaste, quindi $7*7=49$ e così via.. Mettendo tutto insieme
$$\sum_{i=1}^8 i*i = 204$$
casi favorevoli.
In conclusione la probabilità è $204/4426165368 = 4.60896*10^-8$
Mentre sui casi totali sono abbastanza sicuro, sul numero dei casi favorevoli non troppo. Se qualcun altro ci viene in aiuto magari commentando il mio ragionamento..
Secondo me i casi favorevoli sono $8!$
Quindi $p=(8!)/(C(64,8)) = 9,11E-06$ uno su 110.000 circa
Quindi $p=(8!)/(C(64,8)) = 9,11E-06$ uno su 110.000 circa
Concordo con il risultato di nino.
Cronovirus: la tua impostazione era corretta. Ma non dovevi fare la somma $64+49+36+.......+1=204$, bensì il prodotto $64*49*36*......*1=(8!)^2$
A questo punto si divide per le permutazioni $(8!)^2/(8!)=8!$ e si ottiene il risultato proposto da nino.
Cronovirus: la tua impostazione era corretta. Ma non dovevi fare la somma $64+49+36+.......+1=204$, bensì il prodotto $64*49*36*......*1=(8!)^2$
A questo punto si divide per le permutazioni $(8!)^2/(8!)=8!$ e si ottiene il risultato proposto da nino.
puoi spiegarmi perchè usi le permutazioni al denominatore?
Perchè se io metto i pedoni (nei seguenti ordini) nelle caselle 1-10-19-28-37-46-55-64 oppure 19-28-64-37-1-10-46-55 oppure 28-64-55-1-10-19-37-46 etc. etc. alla fine è sempre la stessa cosa.
N.B. Io ho parlato solo dei casi favorevoli, poi per trovare la probabilità bisogna dividere per i casi possibili.
N.B. Io ho parlato solo dei casi favorevoli, poi per trovare la probabilità bisogna dividere per i casi possibili.
"superpippone":
Concordo con il risultato di nino.
Cronovirus: la tua impostazione era corretta. Ma non dovevi fare la somma $64+49+36+.......+1=204$, bensì il prodotto $64*49*36*......*1=(8!)^2$
A questo punto si divide per le permutazioni $(8!)^2/(8!)=8!$ e si ottiene il risultato proposto da nino.
Perfetto grazie mille
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