[Probabilità]Fdr di Trasformazioni di variabili aleatorie
Buonasera a tutti,avrei bisogno di un chiarimento su come trovare la funzione di ripartizione di una funzione di variabili aleatorie.Non ho problemi a trovarla se la funzione è funzione di un'unica variabile aleatoria,mentre non capisco come procedere per trovare la Fdr di più variabili aleatorie escluse le funzioni \(Z=X+Y\) \(Z=X-Y\). Quello che provo a fare ad esempio per trovare la densità di probabilità o la fdr di una funzione di due variabili aleatorie è quanto segue:
1)Suppongo che una delle due variabili sia assegnata ed esprimo la funzione attraverso la probabilità condizionata.
2)A questo punto devo calcolare la probabilità condizionata,ma essendo le variabili indipendenti,il calcolo è semplice.
Questo procedimento funziona correttamente per funzioni del tipo \(Z=Y+X\) \(Z=X-Y\) mentre non riesco ad applicarlo al seguente esempio:
Siano \(C_1 C_2\) variabili di Cauchy standard trovare la funzione di ripartizione di
\(Z= \frac{C_1 + C_2}{1 - C_1C_2}\)
Questo è il procedimento espresso nel libro :
\( FZ(z) = \int_{ -\infty }^{ \infty } P\{ \frac{C_1 + C_2}{1 - C_1C_2}\ < z | C_2 = z\}P\{C_2 \in dz\}\ \) =
= \( \int_{ -\infty }^{ \infty } \int_{-\infty }^{ \frac{z-y}{1+yz}} \frac{dx}{\pi (1+x^2)} \frac{dy}{\pi (1+y^2)}\ \)
per la densità basta derivare. Purtroppo non sono riuscito a capire nemmeno un passaggio,specialmente non capisco come abbia trovato il secondo estremo di integrazione(la funzione inversa non mi risulta essere quella).Può qualcuno spiegarmi l'esercizio e generalmente il metodo da applicare? Vi ringrazio anticipatamente
1)Suppongo che una delle due variabili sia assegnata ed esprimo la funzione attraverso la probabilità condizionata.
2)A questo punto devo calcolare la probabilità condizionata,ma essendo le variabili indipendenti,il calcolo è semplice.
Questo procedimento funziona correttamente per funzioni del tipo \(Z=Y+X\) \(Z=X-Y\) mentre non riesco ad applicarlo al seguente esempio:
Siano \(C_1 C_2\) variabili di Cauchy standard trovare la funzione di ripartizione di
\(Z= \frac{C_1 + C_2}{1 - C_1C_2}\)
Questo è il procedimento espresso nel libro :
\( FZ(z) = \int_{ -\infty }^{ \infty } P\{ \frac{C_1 + C_2}{1 - C_1C_2}\ < z | C_2 = z\}P\{C_2 \in dz\}\ \) =
= \( \int_{ -\infty }^{ \infty } \int_{-\infty }^{ \frac{z-y}{1+yz}} \frac{dx}{\pi (1+x^2)} \frac{dy}{\pi (1+y^2)}\ \)
per la densità basta derivare. Purtroppo non sono riuscito a capire nemmeno un passaggio,specialmente non capisco come abbia trovato il secondo estremo di integrazione(la funzione inversa non mi risulta essere quella).Può qualcuno spiegarmi l'esercizio e generalmente il metodo da applicare? Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Ok dimenticate il post precedente,ho appena appreso che tale esempio fosse escluso dal programma(evidentemente perchè la parte del programma trattata non permette di risolverlo).Avrei però un altro problema a cui vi pregherei di aiutarmi.
Siano X e Y due variabili di Cauchy standard, il libro riporta :
per w > 0
\( P \{ \frac{Y}{X} < w \} = \frac{1}{2} + 2 \int_{0}^{\infty} dx \int_{0}^{wx} \frac{1} {\pi(1+x^2)} \frac{1} {\pi(1+y^2)} dy \)
Ora quello che ho studiando io è questo:
Fissato un determinato w la disuaglianza \( \frac{y}{x} < w \) si scrive come \( y < wx\), se \(x >0 \), oppure come \(y >wx\) , se \(x < 0. \) pertanto la generica funzione di ripartizione sarà uguale a :
\( P \{ \frac{Y}{X} < w \} = \int_{0}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{wx} Fx(x,y)dy\ + \int_{-\infty}^{0} dx \int_{wx}^{\infty} Fx(x,y)dy\)
Ora ho provato ad applicare quanto scritto all'esempio in questione,valutando le variabili indipendenti,però evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge perchè non riesco ad ottenere il risultato.Qualcuno può aiutarmi?
Siano X e Y due variabili di Cauchy standard, il libro riporta :
per w > 0
\( P \{ \frac{Y}{X} < w \} = \frac{1}{2} + 2 \int_{0}^{\infty} dx \int_{0}^{wx} \frac{1} {\pi(1+x^2)} \frac{1} {\pi(1+y^2)} dy \)
Ora quello che ho studiando io è questo:
Fissato un determinato w la disuaglianza \( \frac{y}{x} < w \) si scrive come \( y < wx\), se \(x >0 \), oppure come \(y >wx\) , se \(x < 0. \) pertanto la generica funzione di ripartizione sarà uguale a :
\( P \{ \frac{Y}{X} < w \} = \int_{0}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{wx} Fx(x,y)dy\ + \int_{-\infty}^{0} dx \int_{wx}^{\infty} Fx(x,y)dy\)
Ora ho provato ad applicare quanto scritto all'esempio in questione,valutando le variabili indipendenti,però evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge perchè non riesco ad ottenere il risultato.Qualcuno può aiutarmi?
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