Probabilità vettore aleatorio
Buonasera. Avrei un disperato bisogno del vostro aiuto.
Ho la seguente traccia di un esercizio:
"Siano X; Y; Z indipendenti e distribuite uniformemente in [0; 1].
Calcolare la probabilità che Z sia minore o uguale a X + Y ."
La soluzione riportata dal prof è la seguente:
Io ho capito il discorso del dominio perchè moltiplicando le relative densità (che valgono 1 nell'intervallo fra 0 e 1) si ottiene il cubo. Il resto ci provo da ore ma davvero non capisco, o meglio l'unica cosa che credo di aver intuito è che dire che Z
Ho la seguente traccia di un esercizio:
"Siano X; Y; Z indipendenti e distribuite uniformemente in [0; 1].
Calcolare la probabilità che Z sia minore o uguale a X + Y ."
La soluzione riportata dal prof è la seguente:
Io ho capito il discorso del dominio perchè moltiplicando le relative densità (che valgono 1 nell'intervallo fra 0 e 1) si ottiene il cubo. Il resto ci provo da ore ma davvero non capisco, o meglio l'unica cosa che credo di aver intuito è che dire che Z
Risposte
Il risultato proposto è giusto ma ci sono alcuni errori di stampa nella soluzione del prof che potrebbero confonderti
Come giustamente osservato nella soluzione, la probabilità cercata è la seguente
$P(Z1)+P(Z
la prima probabilità è correttamente pari a $1/2$ e si vede bene dal grafico seguente: è l'area del triangolo viola
Per l'altra invece la soluzione riporta $P(X
$P(0
Per risolvere l'integrale (la congiunta è sempre 1) basta integrare inizialmente su z ed eliminare così un asse ottenendo
$int_(0)^(x+y)dz=(x+y)$
e successivamente integrare il risultato sul triangolo bianco, ovvero sull'evento $0<(x+y)<1$ ottenendo (anche qui c'è qualche refuso evidente nella soluzione del prof)
$int_0^(1)dxint_0^(1-x)(x+y)dy=int_0^1[x-x^2+(1-x)^2/2]dx=[x^2/2-x^3/3-(1-x)^3/6]_0^1=1/2-1/3+1/6=1/3$
e quindi correttamente alla fine viene $1/2+1/3=5/6$
Per favore, evita in futuro di scrivere 'sono disperato' , ' vi prego salvatemi' ecc ecc perché sono frasi che non si possono sentire in un forum di matematica...come pure ti invito a scrivere per bene tutte le formule e non inserire soltanto le immagini.
grazie
Come giustamente osservato nella soluzione, la probabilità cercata è la seguente
$P(Z
la prima probabilità è correttamente pari a $1/2$ e si vede bene dal grafico seguente: è l'area del triangolo viola
Per l'altra invece la soluzione riporta $P(X
$P(0
Per risolvere l'integrale (la congiunta è sempre 1) basta integrare inizialmente su z ed eliminare così un asse ottenendo
$int_(0)^(x+y)dz=(x+y)$
e successivamente integrare il risultato sul triangolo bianco, ovvero sull'evento $0<(x+y)<1$ ottenendo (anche qui c'è qualche refuso evidente nella soluzione del prof)
$int_0^(1)dxint_0^(1-x)(x+y)dy=int_0^1[x-x^2+(1-x)^2/2]dx=[x^2/2-x^3/3-(1-x)^3/6]_0^1=1/2-1/3+1/6=1/3$
e quindi correttamente alla fine viene $1/2+1/3=5/6$
Per favore, evita in futuro di scrivere 'sono disperato' , ' vi prego salvatemi' ecc ecc perché sono frasi che non si possono sentire in un forum di matematica...come pure ti invito a scrivere per bene tutte le formule e non inserire soltanto le immagini.
grazie
Grazie per la tua risposta. Avrei ancora qualche dubbio, allora:
1) $Z≤1$ viene scelto perchè la $Z$ non può andare oltre l'unità altrimenti si uscirebbe dal cubo giusto?
2) Se noi cerchiamo la $P(Z≤X+Y) $ e abbiamo detto che $Z≤1$ allora $X+Y≥1$ (giusto?) e abbiamo detto che questa probabilità fa $1/2$. Perchè non finisce qui? Cioè non è già questa la probabilità che l'esercizio ci ha chiesto? L'altra probabilità che sommiamo cosa rappresenta e perchè la sommiamo?
Diciamo che non ho ben capito come va impostata la probabilità cercata
P.S. Va bene, scusami, dalla prossima volta rispetterò perfettamente il regolamento
1) $Z≤1$ viene scelto perchè la $Z$ non può andare oltre l'unità altrimenti si uscirebbe dal cubo giusto?
2) Se noi cerchiamo la $P(Z≤X+Y) $ e abbiamo detto che $Z≤1$ allora $X+Y≥1$ (giusto?) e abbiamo detto che questa probabilità fa $1/2$. Perchè non finisce qui? Cioè non è già questa la probabilità che l'esercizio ci ha chiesto? L'altra probabilità che sommiamo cosa rappresenta e perchè la sommiamo?
Diciamo che non ho ben capito come va impostata la probabilità cercata
P.S. Va bene, scusami, dalla prossima volta rispetterò perfettamente il regolamento
Stai cercando $P(Z
$[(X+Y)<1] vv [(X+Y)>1]$
Unione significa somma.
Nel secondo insieme, di probabilità $1/2$ la condizione $Z
Per la probabilità dell'altro eventi devi risolvere l'integrale triplo...e ti ho messo tutti i passaggi visto che nella soluzione postata vi erano degli evidenti errori.
Spero che ora sia chiaro, in caso contrario guarda un po' di esempi sul forum...
$[(X+Y)<1] vv [(X+Y)>1]$
Unione significa somma.
Nel secondo insieme, di probabilità $1/2$ la condizione $Z
Per la probabilità dell'altro eventi devi risolvere l'integrale triplo...e ti ho messo tutti i passaggi visto che nella soluzione postata vi erano degli evidenti errori.
Spero che ora sia chiaro, in caso contrario guarda un po' di esempi sul forum...
Ora mi è chiaro tutto il procedimento. Ma il fatto di spezzare il problema nella somma di due probabilità è solo per semplificare e per rendere più facili le cose? (Dato che in questo modo una delle due probabilità era di facile intuizione) o andava fatto per forza così? Nel senso non si poteva impostare qualcosa di questo tipo e integrare?
$0<=Z<=X+Y<=2$
$0<=Z<=X+Y<=2$
l'idea di soluzione è proprio questa....ma occorre tener presente come sono legate le variabili....nella tua doppia disuguaglianza $Z$ arriva fino a 2 e ciò non è vero...prova ad integrare così e vedrai che otterrai un valore maggiore di uno.
Ti ripeto, il problema è molto semplice ma occorre avere un po' di esperienza...secondo me l'esercizio in questione è un po' troppo complicato per iniziare...avrò risolto diverse centinaia di esempi simili in $R^2$....guarda quelli prima....vedrai che non appena ci prendi la mano sarà tutto chiaro
Inizia, ad esempio, con questo
...a lui ho consigliato il tuo esercizio ed a te il suo........
saluti
Ti ripeto, il problema è molto semplice ma occorre avere un po' di esperienza...secondo me l'esercizio in questione è un po' troppo complicato per iniziare...avrò risolto diverse centinaia di esempi simili in $R^2$....guarda quelli prima....vedrai che non appena ci prendi la mano sarà tutto chiaro
Inizia, ad esempio, con questo
...a lui ho consigliato il tuo esercizio ed a te il suo........
saluti
Giusto, hai ragione! Comunque si, effettivamente è il primo esercizio di questo tipo. Nonostante le difficoltà iniziali ora posso dire di aver capito, vedrò l'esercizio che mi hai consigliato ed anche altri. Grazie, sei stato illuminante
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