PROBABILITA': variabili discrete
Ciao a tutti ragazzi!
qualcuno potrebbe aiutarmi e confermare le mie conclusioni su questo esercizio di probabilità suddiviso in 3 punti?
il testo è il seguente: Siano X,Z e W variabili aleatorie indipendenti con X ∼ Be(p) e
Z,W ∼ Pois(λ). Definiamo Y= XZ +W
1) Si spieghi la seguente uguaglianza di eventi: per ogni m ∈ {0,1} e n ∈ N
{X = m,Y = n} = {X = m, mZ +W = n}
Risposta: in questo caso essendo y=xz+w allora se x=m il secondo elemento del vettore dato il primo, cioè X=m risulterà Y=n => mZ+W=n. ma credo di aver tralasciato qualcosa
2) Si determinino le densità discrete di (X,Y) e di Y:
nel primo caso devo calcolare P(x=m, mZ+W=n) con X ∼ Be(p) e Y∼ Pois(λ+λ) essendo somma di due poisson indipendenti, ma essendo X e Y indipendenti posso trovare la f. di densità Pxy= Px*Py giusto?
per Px nessun problema perchè semplice bernulliana.
Per Py ho una Pois(λ+λ) ma il fatto di avere m ∈ {0,1} nella Py devo annullare Z quando m=0 quindi mi rimarrebbe solo Y=W, m posso metterlo fuori quando calcolo Py?
per la denisità discreta di Py devo sommare su tutto il supporto x in Pxy?
la f.di densità discreta sommata su tutto il supporto vale uno quindi mi rimarebbe solo Py
3) in questo punto non saprei dove mettere le mani: si puo calcolare E(Y) e Var(Y) senza utilizzare pY??
Mi scuso per il messaggio lungo o un po' confuso ma preferisco carta e penna al pc
Spero che qualcuno riesca ad aiutarmi! in ogni caso VI RINGRAZIO!!!
qualcuno potrebbe aiutarmi e confermare le mie conclusioni su questo esercizio di probabilità suddiviso in 3 punti?
il testo è il seguente: Siano X,Z e W variabili aleatorie indipendenti con X ∼ Be(p) e
Z,W ∼ Pois(λ). Definiamo Y= XZ +W
1) Si spieghi la seguente uguaglianza di eventi: per ogni m ∈ {0,1} e n ∈ N
{X = m,Y = n} = {X = m, mZ +W = n}
Risposta: in questo caso essendo y=xz+w allora se x=m il secondo elemento del vettore dato il primo, cioè X=m risulterà Y=n => mZ+W=n. ma credo di aver tralasciato qualcosa
2) Si determinino le densità discrete di (X,Y) e di Y:
nel primo caso devo calcolare P(x=m, mZ+W=n) con X ∼ Be(p) e Y∼ Pois(λ+λ) essendo somma di due poisson indipendenti, ma essendo X e Y indipendenti posso trovare la f. di densità Pxy= Px*Py giusto?
per Px nessun problema perchè semplice bernulliana.
Per Py ho una Pois(λ+λ) ma il fatto di avere m ∈ {0,1} nella Py devo annullare Z quando m=0 quindi mi rimarrebbe solo Y=W, m posso metterlo fuori quando calcolo Py?
per la denisità discreta di Py devo sommare su tutto il supporto x in Pxy?
la f.di densità discreta sommata su tutto il supporto vale uno quindi mi rimarebbe solo Py
3) in questo punto non saprei dove mettere le mani: si puo calcolare E(Y) e Var(Y) senza utilizzare pY??
Mi scuso per il messaggio lungo o un po' confuso ma preferisco carta e penna al pc
Spero che qualcuno riesca ad aiutarmi! in ogni caso VI RINGRAZIO!!!
Risposte
2)
$P(X=x,Y=y)=(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)\mathbb{I}_({0})(x)+(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)\mathbb{I}_({1})(x)$
si può vedere meglio in forma tabellare...
$P(Y=y)=(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)(1-p)+(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)p$
è una mistura di due pmf poisson.
3) basta usare la definizione di media
$\mathbb{E}[g(X,Y)]=sum_(x in X, y in Y) g(x,y)\cdot p_(XY)(x,y)$
e per la varianza usare la definizione di varianza calcolando dapprima il momento secondo con la stessa formula precedente
PS1: il termine "densità discreta" è un'aberrazione. La densità esiste SOLO per variabili continue, per quelle discrete c'è la pmf: probability mass function
PS2: la prossima volta che intervieni ti chiedo cortesemente di scrivere le formule in modo corretto, cioè usando LateX, MathJax ecc ecc
...in caso contrario butto via tutto.
$P(X=x,Y=y)=(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)\mathbb{I}_({0})(x)+(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)\mathbb{I}_({1})(x)$
si può vedere meglio in forma tabellare...
$P(Y=y)=(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)(1-p)+(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)p$
è una mistura di due pmf poisson.
3) basta usare la definizione di media
$\mathbb{E}[g(X,Y)]=sum_(x in X, y in Y) g(x,y)\cdot p_(XY)(x,y)$
e per la varianza usare la definizione di varianza calcolando dapprima il momento secondo con la stessa formula precedente
PS1: il termine "densità discreta" è un'aberrazione. La densità esiste SOLO per variabili continue, per quelle discrete c'è la pmf: probability mass function
PS2: la prossima volta che intervieni ti chiedo cortesemente di scrivere le formule in modo corretto, cioè usando LateX, MathJax ecc ecc
...in caso contrario butto via tutto.
grazie per aver risposto! mi sono appena iscritta e non so ancora bene come funziona, spero che si sia capito in ogni caso.
nell'eserciziario c'è scritto "determinare le densità discrete di (X,Y) e Y.
comunque posso chiederti come sei arrivato a questo?
$ P(X=x,Y=y)=(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)\mathbb{I}_({0})(x)+(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)\mathbb{I}_({1})(x) $ ?
in un terzo punto mi chiede di calcolare la media e la varianza, la prima volta con la funzione di probabilità e la seconda senza.
nel primo caso applico le definizione come hai ben detto tu e nel secondo caso?
nell'eserciziario c'è scritto "determinare le densità discrete di (X,Y) e Y.
comunque posso chiederti come sei arrivato a questo?
$ P(X=x,Y=y)=(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)\mathbb{I}_({0})(x)+(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)\mathbb{I}_({1})(x) $ ?
in un terzo punto mi chiede di calcolare la media e la varianza, la prima volta con la funzione di probabilità e la seconda senza.
nel primo caso applico le definizione come hai ben detto tu e nel secondo caso?
Senza l'uso della pmf $P(Y=y)$
$\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[XZ+W]=\mathbb{E}[X]\cdot \mathbb{E}[Z]+\mathbb{E}[W]=lambda(p+1)$
$\mathbb{V}[Y]=\mathbb{V}[XZ+W]=\mathbb{V}[XZ]+\mathbb{V}[W]=\mathbb{E}[XZ]^2-\mathbb{E}^2[XZ]+\mathbb{V}[W]=$
$=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Z^2]-\mathbb{E}^2[XZ]+\mathbb{V}[W]=p(lambda+lambda^2)-lambda^2p^2+lambda$
Con l'uso della pmf $P(Y=y)$
$\mathbb{E}[Y]=(1-p)sum_(y=0)^(oo) y(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)+psum_(y=0)^(oo) y(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)=(1-p)lambda+p2lambda=lambda(p+1)$
$\mathbb{E}[Y^2]=(1-p)sum_(y=0)^(oo) y^2(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)+psum_(y=0)^(oo) y^2(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)=$
$=(1-p)(lambda+lambda^2)+p(2lambda+4lambda^2)=...=lambda+lambda^2+p lambda+3p lambda^2$
da cui
$\mathbb{V}[Y]=\mathbb{E}[Y^2]-\mathbb{E}^2[Y]=...=lambda+p lambda+p lambda^2-lambda^2p^2$
come nel caso precedente.
non ho detto che lo hai scritto tu. Ho detto e ripeto: E' SBAGLIATO...può essere scritto anche sulla Bibbia ma rimane sbagliato: è una contraddizione in termini...le variabili discrete si chiamano così perché concentrano MASSE di probabilità positive in determinati punti; quelle continue no, sono a misura nulla e quindi per tali variabili viene definita, quando esiste, una DENSITA' di probabilità...che non sto a dettagliare oltre. Nel caso non esista una densità ci si rifà alla CDF che invece esiste sempre
$\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[XZ+W]=\mathbb{E}[X]\cdot \mathbb{E}[Z]+\mathbb{E}[W]=lambda(p+1)$
$\mathbb{V}[Y]=\mathbb{V}[XZ+W]=\mathbb{V}[XZ]+\mathbb{V}[W]=\mathbb{E}[XZ]^2-\mathbb{E}^2[XZ]+\mathbb{V}[W]=$
$=\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Z^2]-\mathbb{E}^2[XZ]+\mathbb{V}[W]=p(lambda+lambda^2)-lambda^2p^2+lambda$
Con l'uso della pmf $P(Y=y)$
$\mathbb{E}[Y]=(1-p)sum_(y=0)^(oo) y(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)+psum_(y=0)^(oo) y(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)=(1-p)lambda+p2lambda=lambda(p+1)$
$\mathbb{E}[Y^2]=(1-p)sum_(y=0)^(oo) y^2(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)+psum_(y=0)^(oo) y^2(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)=$
$=(1-p)(lambda+lambda^2)+p(2lambda+4lambda^2)=...=lambda+lambda^2+p lambda+3p lambda^2$
da cui
$\mathbb{V}[Y]=\mathbb{E}[Y^2]-\mathbb{E}^2[Y]=...=lambda+p lambda+p lambda^2-lambda^2p^2$
come nel caso precedente.
"melissaaa":
nell'eserciziario c'è scritto "determinare le densità discrete di (X,Y) e Y.
non ho detto che lo hai scritto tu. Ho detto e ripeto: E' SBAGLIATO...può essere scritto anche sulla Bibbia ma rimane sbagliato: è una contraddizione in termini...le variabili discrete si chiamano così perché concentrano MASSE di probabilità positive in determinati punti; quelle continue no, sono a misura nulla e quindi per tali variabili viene definita, quando esiste, una DENSITA' di probabilità...che non sto a dettagliare oltre. Nel caso non esista una densità ci si rifà alla CDF che invece esiste sempre
comunque ora mi è tutto chiaro, solo un ultima cosa qui:
$ P(X=x,Y=y)=(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)\mathbb{I}_({0})(x)+(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)\mathbb{I}_({1})(x) $
il ragionamento sarebbe: essendo x una bernulli a valori {0,1} essendo \(\displaystyle Y=xZ+W \) , SE x=0 \(\displaystyle Y=0*Z+W \) e ho una V.C di poisson, a cui sommo le due V.C di poisson quando ho x=1 ovvero \(\displaystyle Y=1*Z+W \) ?
$ P(X=x,Y=y)=(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)\mathbb{I}_({0})(x)+(e^(-2lambda)(2lambda)^y)/(y!)\mathbb{I}_({1})(x) $
il ragionamento sarebbe: essendo x una bernulli a valori {0,1} essendo \(\displaystyle Y=xZ+W \) , SE x=0 \(\displaystyle Y=0*Z+W \) e ho una V.C di poisson, a cui sommo le due V.C di poisson quando ho x=1 ovvero \(\displaystyle Y=1*Z+W \) ?
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