Probabilità tra due punti

[Krekers1]

ciao a tutti, avrei un problema con questo quesito

Due resistenze assumono valori con densità di probabilità gaussiana ( $ bar(R_1) = 100Omega$ ; $ sigma_1=1 $
$ bar(R_2) = 200Omega $; $sigma_2 = 2$ ). Determinare la probabilità che la resistenza $R = R_1 + R_2$ non assuma valori esterni all'intervallo $300Omega +- 4%$

Io ho iniziato con il determinare l'espressione delle densità di probabilità (PDF) delle due resistenze. Usando la formula generale della PDF gaussiana ho scritto

$f_1(r) = 1/(sqrt(2pi)) exp-(r-100)^2/2$

$f_2(r) = 1/(sqrt(8pi)) exp-(r-200)^2/8$

poi ho provato a determinare il valore della PDF della $R=R_1+R_2$ sapendo che la PDF di una variabile aleatoria data dalla somma di due variabili aleatorie si determina eseguendo la convoluzione delle PDF di $R_1$ e $R_2$

$f_R(r)=f_1(r)**f_2(r)$
il problema l'ho trovato nel calcolo della convoluzione (sempre ammettendo che il mio ragionamento iniziale sia giusto) perchè devo svolgerla per via analitica e non grafica

continuando il ragionamento ho pensato poi che una volta determinata la PDF di $R$ per il calcolo della probabilità sia necessario utilizzare la proprietà della "Funzione distribuzione di probabilità" relativa alla probabilità in un intervallo e cioè

$Pr(a
nel mio caso dovrebbe essere $a=300-4%=288$ e $b=300+4%=312$

infine ricordando che per una variabile aleatoria gaussiana la $F_X=phi((x-bar(x))/sigma_x)$
e che $phi(x)=1/2+1/2erf(x/sqrt(2))$ la formula per il calcolo della probabilità che dovrei usare sarebbe
$1/2[erf((b-bar(x))/(sqrt(2sigma_X ^2)))-erf((a-bar(x))/(sqrt(2sigma_X ^2)))]$ quindi sostituendo tutto quanto dovrei ottenere
$Pr(288
è giusto il mio ragionamento? e se si quanto vale la convoluzione che non riesco a fare? e nel caso in cui sia tutto sbagliato potreste gentilmente indirizzarmi sulla giusta strada da seguire per risolverlo?

[walter891]

per sommare due gaussiane non è necessario eseguire la convoluzione, sai già che la somma sarà ancora una gaussiana di cui devi solo determinare i parametri

[hamming_burst]

"walter89":per sommare due gaussiane non è necessario eseguire la convoluzione, sai già che la somma sarà ancora una gaussiana di cui devi solo determinare i parametri

in aggiunta bisogna considerarne l'indipendenza, in questo caso è un'assunzione accettabile.

Forse basta anche solo chebyshev, per una limitazione.

[Krekers1]

"walter89":per sommare due gaussiane non è necessario eseguire la convoluzione, sai già che la somma sarà ancora una gaussiana di cui devi solo determinare i parametri

quindi devo seguire la proprietà che dice che la combinazione lineare di due variabili aleatorie gaussiane indipendenti $X_1$ e $X_2$; $X=aX_1+bX_2$ è sempre una variabile aleatoria gaussiana avente valor medio $bar(x)=abar(x_1)+b bar(x_2)$
e varianza $sigma_x^2=a^2 sigma_1^2 + b^2 sigma_2^2$

e una volta trovati questi indici statistici li devo utilizzare nell'ultima formula che ho scritto nel primo post e ho finito?