Probabilità stocastica
Salve,
essendo un po' "arrugginito" in tema di probabilità & statistica, chiedo conforto agli esperti per il seguente semplice problema:
- ho tre urne, ciascuna con 3 palline identiche a parte il colore (Red, Green, Blue)
- qual'è la probabilità di estrarre una pallina Blue con una singola estrazione da ciascuna delle tre urne? Ovviamente la probabilità di estrarre una pallina Blue da una urna è pari ad 1/3; che succede se considero le tre urne invece di una?
- qual'è la probabilità di estrarne due Blue - sempre con una singola estrazione da ciascuna delle tre urne?
- e quale la probabilità di estrarne tre Blue?
Infine, possiamo dire che la probabilità di ottenere almeno una pallina Blue con una singola estrazione dalle tre urne è uguale alla somma delle probabilità di cui sopra - essendo gli eventi indipendenti?
Grazie mille!
essendo un po' "arrugginito" in tema di probabilità & statistica, chiedo conforto agli esperti per il seguente semplice problema:
- ho tre urne, ciascuna con 3 palline identiche a parte il colore (Red, Green, Blue)
- qual'è la probabilità di estrarre una pallina Blue con una singola estrazione da ciascuna delle tre urne? Ovviamente la probabilità di estrarre una pallina Blue da una urna è pari ad 1/3; che succede se considero le tre urne invece di una?
- qual'è la probabilità di estrarne due Blue - sempre con una singola estrazione da ciascuna delle tre urne?
- e quale la probabilità di estrarne tre Blue?
Infine, possiamo dire che la probabilità di ottenere almeno una pallina Blue con una singola estrazione dalle tre urne è uguale alla somma delle probabilità di cui sopra - essendo gli eventi indipendenti?
Grazie mille!
Risposte
No. Non si tratta né della somma (che si fa se gli eventi sono incompatibili) né del prodotto (che si fa se gli eventi sono indipendenti).
Estrarre almeno una pallina Blue con tre estrazioni, una per urna, è l'evento contrario a quello di non estrarne alcuna; le estrazioni sono indipendenti ed in questo caso si può fare il prodotto delle probabilità. Dunque la probabilità cercata è $1-(2/3)^3=19/27$
Altre richieste sono più complicate. Ad esempio, la probabilità che vengano estratte esattamente due palline Blue è legata anche alla "scelta" delle due urne o dell'unica urna da cui non viene estratta la pallina Blue.
Dipende dal coefficiente binomiale ( $((n),(k))$ indica il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi), oltre che dalle singole probabilità (casi favorevoli / casi possibili per ogni evento elementare - singola estrazione).
Allora la probabilità che delle tre palline due siano Blue ed una Red o Green è la seguente:
$P=((3),(2))*(1/3)^2*(2/3)=3*1/9*2/3=2/9$
Ciao.
Estrarre almeno una pallina Blue con tre estrazioni, una per urna, è l'evento contrario a quello di non estrarne alcuna; le estrazioni sono indipendenti ed in questo caso si può fare il prodotto delle probabilità. Dunque la probabilità cercata è $1-(2/3)^3=19/27$
Altre richieste sono più complicate. Ad esempio, la probabilità che vengano estratte esattamente due palline Blue è legata anche alla "scelta" delle due urne o dell'unica urna da cui non viene estratta la pallina Blue.
Dipende dal coefficiente binomiale ( $((n),(k))$ indica il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi), oltre che dalle singole probabilità (casi favorevoli / casi possibili per ogni evento elementare - singola estrazione).
Allora la probabilità che delle tre palline due siano Blue ed una Red o Green è la seguente:
$P=((3),(2))*(1/3)^2*(2/3)=3*1/9*2/3=2/9$
Ciao.
Grandioso!
Assumo quindi che la probabilità di scegliere una tripla di 3 palline Blue sia 1 diviso 27 (tutte le triple possibili), corretto?
Mentre mi sfugge ancora la probabilità complessiva di scegliere almeno una pallina Blue in un singolo turno di estrazioni dalle tre urne ... il successo sarebbe dato dall' "OR" di ognuno dei casi analizzati (scelgo 1 Blue OR 2 Blue OR 3 Blue in un turno di estrazioni) ...
Grazie 1K!
Assumo quindi che la probabilità di scegliere una tripla di 3 palline Blue sia 1 diviso 27 (tutte le triple possibili), corretto?
Mentre mi sfugge ancora la probabilità complessiva di scegliere almeno una pallina Blue in un singolo turno di estrazioni dalle tre urne ... il successo sarebbe dato dall' "OR" di ognuno dei casi analizzati (scelgo 1 Blue OR 2 Blue OR 3 Blue in un turno di estrazioni) ...
Grazie 1K!
prego!
almeno una nel tuo caso significa 1, 2 o 3.
però così sarebbe più complicato.
ti invito comunque a contare i casi favorevoli: visto che per esattamente 2 palline il calcolo te l'ho già fatto io, e per 3 palline lo hai fatto tu, ti manca solo il caso di "esattamente una pallina Blue". provaci.
il metodo "semplificato" che ho usato io è invece questo (dovresti comunque ottenere risultati uguali):
io ho usato il fatto che l'evento A: "almeno una pallina è blue" è l'evento contrario dell'evento B: "nessuna pallina è blue".
ho trovato P(A) come 1-P(B).
OK?
almeno una nel tuo caso significa 1, 2 o 3.
però così sarebbe più complicato.
ti invito comunque a contare i casi favorevoli: visto che per esattamente 2 palline il calcolo te l'ho già fatto io, e per 3 palline lo hai fatto tu, ti manca solo il caso di "esattamente una pallina Blue". provaci.
il metodo "semplificato" che ho usato io è invece questo (dovresti comunque ottenere risultati uguali):
io ho usato il fatto che l'evento A: "almeno una pallina è blue" è l'evento contrario dell'evento B: "nessuna pallina è blue".
ho trovato P(A) come 1-P(B).
OK?
Allora, da un punto di vista "logico" ho 3 combinazioni (=triple) con 1 Blue su 27 estrazioni possibili (= 1/9).
Volendo calcolarlo in accordo ad un ragionamento "statistico", ricalcando il suo ragionamento per il caso delle 2 palline Blue, dovrebbe essere:
P = (3 su 1 - coeff. binomiale) * (1 / 3)^3 = 3 * (1 / 27) = 1 / 9
Torna?
Volendo combinare le tre probabilità di scegliere 1 o 2 o 3 palline Blue, riconducendole alla probabilità di estrarre almeno una 1 pallina Blue, come devo operare?
Alla fine della fiera dovrò ottenere comunque un valore pari a 19/27 ma ancora mi sfugge questo ultimo passaggio ...
Grazie!
A.
Volendo calcolarlo in accordo ad un ragionamento "statistico", ricalcando il suo ragionamento per il caso delle 2 palline Blue, dovrebbe essere:
P = (3 su 1 - coeff. binomiale) * (1 / 3)^3 = 3 * (1 / 27) = 1 / 9
Torna?
Volendo combinare le tre probabilità di scegliere 1 o 2 o 3 palline Blue, riconducendole alla probabilità di estrarre almeno una 1 pallina Blue, come devo operare?
Alla fine della fiera dovrò ottenere comunque un valore pari a 19/27 ma ancora mi sfugge questo ultimo passaggio ...
Grazie!
A.
a) 0 blu = $(2/3)^3 = 8/27$
b) 1 blu = $1/3*2/3*2/3*3 = 12/27$
c) 2 blu = $1/3*1/3*2/3*3 = 6/27$
d) 3 blu = $(1/3)^3 = 1/27$
Almeno una blu = $b+c+d$ oppure (più semplice) $1-a$
Almeno due blu = $c+d$ oppure $1-(a+b)$
b) 1 blu = $1/3*2/3*2/3*3 = 12/27$
c) 2 blu = $1/3*1/3*2/3*3 = 6/27$
d) 3 blu = $(1/3)^3 = 1/27$
Almeno una blu = $b+c+d$ oppure (più semplice) $1-a$
Almeno due blu = $c+d$ oppure $1-(a+b)$
Chiarissimo, grazie!
A.
A.
ormai ti ha già risposto zurlo, però ti scrivo anch'io perché volevo farti notare due cose:
- sono comunque tre estrazioni, per cui per ogni caso vanno moltiplicate tre probabilità (1/3 o 2/3) di eventi indipendenti;
- la probabilità dell'evento "esce almeno una pallina blue" (19/27) la possiamo trovare come somma "solo" di eventi incompatibili, precisamente:
L'evento "esce almeno una pallina blue" comprende, come dicevo in un post precedente, i casi di 1, 2, 3 palline blue.
Per poter fare una somma di probabilità, dobbiamo considerare i tre eventi "incompatibili":
1. esce esattamente 1 pallina blue;
2. escono esattamente due palline blue;
3. escono 3 palline blue.
i valori delle varie probabilità sono quelle che ha scritto zurlo.
quelle che ti servono per rispondere alla domanda sono, con l'uso dei coefficienti binomiali, le seguenti:
la prima probabilità è $((3),(1))*1/3*(2/3)^2=4/9$
la seconda è $((3),(2))*(1/3)^2*2/3=2/9$
la terza è quella che hai scritto nel primo post: $(1/3)^3=1/27$
allora
$P=4/9+2/9+1/27=(12+6+1)/27=19/27$
La probabilità dell’evento contrario (Non esce alcuna pallina blue) è $(2/3)^3=8/27$
$1-8/27=(27-8)/27=19/27$
ciao ad entrambi
- sono comunque tre estrazioni, per cui per ogni caso vanno moltiplicate tre probabilità (1/3 o 2/3) di eventi indipendenti;
- la probabilità dell'evento "esce almeno una pallina blue" (19/27) la possiamo trovare come somma "solo" di eventi incompatibili, precisamente:
L'evento "esce almeno una pallina blue" comprende, come dicevo in un post precedente, i casi di 1, 2, 3 palline blue.
Per poter fare una somma di probabilità, dobbiamo considerare i tre eventi "incompatibili":
1. esce esattamente 1 pallina blue;
2. escono esattamente due palline blue;
3. escono 3 palline blue.
i valori delle varie probabilità sono quelle che ha scritto zurlo.
quelle che ti servono per rispondere alla domanda sono, con l'uso dei coefficienti binomiali, le seguenti:
la prima probabilità è $((3),(1))*1/3*(2/3)^2=4/9$
la seconda è $((3),(2))*(1/3)^2*2/3=2/9$
la terza è quella che hai scritto nel primo post: $(1/3)^3=1/27$
allora
$P=4/9+2/9+1/27=(12+6+1)/27=19/27$
La probabilità dell’evento contrario (Non esce alcuna pallina blue) è $(2/3)^3=8/27$
$1-8/27=(27-8)/27=19/27$
ciao ad entrambi
Perfetto. Grazie per l'ottima spiegazione!
prego!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo