Probabilità Roulette Francese e martingala
Buon Giorno a tutti,
Vedendo tanti sedicenti guru della roulette su internet con i loro "magici" metodi che assicurano vincite mi sono incuriosito e ho deciso di calcolare l'effettiva probabilità di vincita con la tecnica del raddoppio o martingala.
Per chi non lo sapesse consiste nel puntare solo su rosso o nero o pari o dispari e raddoppiare la puntata precedente nel caso di perdita, in tal modo partendo da 1 ad ogni vincita si coprono le perdite precedenti e si guadagna sempre 1.
Nelle roulette online (non so quelle fisiche) il limite di puntata è 500 volte la puntata minima (es: 1-500), questo implica che al massimo sarà possibile fare 9 raddoppi ->2^8=256
Calcolerò ora la probabilità di perdita:
• probabilià singola puntata 19/37
• probabilità di 9 perdite di fila e quindi impossibilità di raddoppio (19/37)^9=0.0024829
• per calcolare la probabilità su un volume di gioco di n giocate uso la formula di Bernoulli per eventi ripetuti imponendo che la condizione "9 raddoppi" si verifichi almeno 1 volta, il numero di eventi però sarà x=n/9 in quanto considero le 9 ripetizioni come un singolo evento con una probabilità di 0.24829%=p di verificarsi
$ p_{t ot}=\frac{x!}{1!(x-1)!}p^{1}(1-p)^{x-1} $
che semplificata diventa
$ p_{t ot}=x*p(1-p)^{x-1} $
• possiamo ora far tendere la funzione all'infinito (n->inf) e (tramite de l'Hopital) si verifica che tende a 0 ovvero probabilità di vincita assoluta
• la funzione però ha un andamento interessante con un massimo a n=3618 giocate con 36.833% di probabilità di perdita
• vi riporto il grafico con in ordinate la probabilità in centesimi e sulle ascisse x=n/9, http://fooplot.com/#W3sidHlwZSI6MCwiZXE ... 44Il19XQ--
non sono riuscito a disegnarla decentemente con geonext, spero si veda
Ho fatto qualche errore ?
Mi sarei aspettato che la probabilità di perdita si azzerasse linearmente, qualcuno sa come interpretare quel massimo?
Vedendo tanti sedicenti guru della roulette su internet con i loro "magici" metodi che assicurano vincite mi sono incuriosito e ho deciso di calcolare l'effettiva probabilità di vincita con la tecnica del raddoppio o martingala.
Per chi non lo sapesse consiste nel puntare solo su rosso o nero o pari o dispari e raddoppiare la puntata precedente nel caso di perdita, in tal modo partendo da 1 ad ogni vincita si coprono le perdite precedenti e si guadagna sempre 1.
Nelle roulette online (non so quelle fisiche) il limite di puntata è 500 volte la puntata minima (es: 1-500), questo implica che al massimo sarà possibile fare 9 raddoppi ->2^8=256
Calcolerò ora la probabilità di perdita:
• probabilià singola puntata 19/37
• probabilità di 9 perdite di fila e quindi impossibilità di raddoppio (19/37)^9=0.0024829
• per calcolare la probabilità su un volume di gioco di n giocate uso la formula di Bernoulli per eventi ripetuti imponendo che la condizione "9 raddoppi" si verifichi almeno 1 volta, il numero di eventi però sarà x=n/9 in quanto considero le 9 ripetizioni come un singolo evento con una probabilità di 0.24829%=p di verificarsi
$ p_{t ot}=\frac{x!}{1!(x-1)!}p^{1}(1-p)^{x-1} $
che semplificata diventa
$ p_{t ot}=x*p(1-p)^{x-1} $
• possiamo ora far tendere la funzione all'infinito (n->inf) e (tramite de l'Hopital) si verifica che tende a 0 ovvero probabilità di vincita assoluta
• la funzione però ha un andamento interessante con un massimo a n=3618 giocate con 36.833% di probabilità di perdita
• vi riporto il grafico con in ordinate la probabilità in centesimi e sulle ascisse x=n/9, http://fooplot.com/#W3sidHlwZSI6MCwiZXE ... 44Il19XQ--
non sono riuscito a disegnarla decentemente con geonext, spero si veda
Ho fatto qualche errore ?
Mi sarei aspettato che la probabilità di perdita si azzerasse linearmente, qualcuno sa come interpretare quel massimo?
Risposte
"SteNo":
Ho fatto qualche errore ?
molti, alcuni dei quali davvero grossolani per una persona che si cimenta in un esercizio così.
Il processo che intendi analizzare è più complesso di quanto immagini e può essere trattato (con molta delicatezza) utilizzando alcuni processi stocastici, per l'appunto i Processi Martingala. La tua è una proposta di soluzione frettolosa, molto lacunosa e porta a risultati errati, opposti a quanto atteso.
Intanto, giocando rosso o nero, in ogni spin la probabilità di perdere non è $19/37$ ma $18/37$ così come quella di vincere...più lo zero $1/(37)$ dove, secondo le regole di molte Case da Gioco, la posta rimane "congelata" per cui né si vince né si perde, ma il giocatore non può riprendersela; se allo spin successivo vince, può riprendersi la posta (e quindi va in pareggio) se invece perde, perde anche la posta; se esce lo zero all'ultimo spin della giornata si fa a metà della posta con il banco. Già qui vedi che le cose si complicano perché la variabile guadagno non è più bernulliana, vinco / perdo ma è un qualche cosa di più articolato.
Non considerando questa variabile ma semplificando il problema come hai fatto tu, e quindi riferendoci ad una somma di variabili bernulliane, ciò che hai calcolato tu è unicamente la probabilità che il tuo evento (ovvero 9 perdite consecutive) esca ESATTAMENTE UNA VOLTA in N gruppi da 9 puntate indipendenti e non "almeno una volta" come hai affermato[nota]la probabilità che un evento (in un campionamento con reimmissione) si verifichi almeno una volta su N prove è $1-P(X=0)$, ovvero è la probabilità che l'evento si verifichi $1,2,...,N$ volte. Nel tuo caso la probabilità di perdita in funzione di N è $l (N)=1-0,998^N$. Già con questo abbozzo di soluzione vedi che al crescere di N la probabilità di vincita tende a zero.[/nota].
Quindi, premesso che andrebbe considerata la dinamica dell'intero processo stocastico e non unicamente il verificarsi di un gruppo di 9 osservazioni in un insieme di $n/9$ gruppi indipendenti e con ripetizione, l'errore più grave è quello di aver considerato la probabilità del verificarsi "esattamente di un evento" e non di "almeno un evento". Per $k=1$, che il massimo della funzione sia proprio dove lo hai trovato non è un segreto....basta prendere la funzione di probabilità binomiale e, fissato $k=1$, con semplici calcoli di analisi vedi che il max dellla probabilità di perdita è in corrispondenza di
$N=\ceil ((1-p)/p)$
per cui nel tuo caso ottieni:
$n/9=\ceil ((1-0.002483)/(0.002483))=402$
ovvero $n=402\cdot9=3618$
senza fare tanti conti o simulazioni grafiche.
Altra cosa che mi lascia molto perplesso è come mai, una volta ottenuto che, per $n rarr +oo$, la probabilità di vincita tende a 1 non ti sei posto qualche domanda sulla correttezza dei tuoi calcoli; basta entrare in un Casinò, osservare il lusso e lo sfarzo che vedi attorno a te per capire che a lungo andare è solo il banco a vincere
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