Probabilità "almeno k"
Salve ragazzi, volevo una mano a chiarirmi un dubbio su un esercizio...Dato in un esercizio $100$ dipendenti, è noto che $32$ di essi sono donne. Quindi la probabilità che un elemento estratto casualmente sia donna è appunto $32/100=0.32$
Adesso l'esercizio mi chiede:
Estratti casualmente(con riposizione) $87$ dipendenti, qual è la probabilità che il numero delle femmine sia ALMENO $18$???
La domanda è appunto "ALMENO" e non "Esattamente"... Quindi la domanda esplicitamente è: $P(X>=18)$.
Si tratta di una prova bernoulliana, con estrazione con reinserimento...Ma utilizzando la somma dei coefficienti binomiali moltiplicati per $p$ e per $q$ vengono numeri spaventosamente alti! Qual'è la soluzione sicuramente più coerente?
Adesso l'esercizio mi chiede:
Estratti casualmente(con riposizione) $87$ dipendenti, qual è la probabilità che il numero delle femmine sia ALMENO $18$???
La domanda è appunto "ALMENO" e non "Esattamente"... Quindi la domanda esplicitamente è: $P(X>=18)$.
Si tratta di una prova bernoulliana, con estrazione con reinserimento...Ma utilizzando la somma dei coefficienti binomiali moltiplicati per $p$ e per $q$ vengono numeri spaventosamente alti! Qual'è la soluzione sicuramente più coerente?
Risposte
"andre_queritmo":
Si tratta di una prova bernoulliana, con estrazione con reinserimento...Ma utilizzando la somma dei coefficienti binomiali moltiplicati per $p$ e per $q$ vengono numeri spaventosamente alti! Qual'è la soluzione sicuramente più coerente?
Conosci il teorema del limite centrale?
Potrei chiederti di aiutarmi con lo svolgimento...Per capire come fare?? Grazie
Bhe hai già dato la soluzione corretta. Devi sommare la probabilità dei successi $P(=k) + P(=k+1)...$ in uno spazio binomiale perciò eventi indipendenti....
\[P(>=18) = 1 - P(<18) = 1 - \sum_{k=0}^{17} \left( \begin{matrix} 87\\k \end{matrix} \right)*(0.32)^k*(1-0.32)^{87-k} \approx 0.993\]
\[P(>=18) = 1 - P(<18) = 1 - \sum_{k=0}^{17} \left( \begin{matrix} 87\\k \end{matrix} \right)*(0.32)^k*(1-0.32)^{87-k} \approx 0.993\]
Si su questo non avevo dubbi...Il problema mio era capire come tu sei arrivato a quel 0.933... O se comunque l'hai ottenuto facendo decine di calcoli, ecco 
"andre_queritmo":
Si su questo non avevo dubbi...Il problema mio era capire come tu sei arrivato a quel 0.933... O se comunque l'hai ottenuto facendo decine di calcoli, ecco
Secondo me lo ha ottenuti con i calcoli...ma li avrà fatti fare ad un computer.
Se ti interessa vedere come si faceva fino ad un pó di anni fa guarda cosa dice il teorema del limite centrale e prova ad applicarlo...
ok, chiedo scusa. Avevo interpretato la frase: "vengono numeri spaventosamente alti" come si chiedesse il perchè, la probabilità risultante venisse molto alta e servisse una conferma procedurale.
bhe certo, chi si mette a farli a mano con la formula diretta...si schioppa
comunque buon consiglio, a posteriori di aver compreso cosa si chiedesse realmente, quello di utilizzare e approssimare con il TLC
"DajeForte":
Secondo me lo ha ottenuti con i calcoli...ma li avrà fatti fare ad un computer.
bhe certo, chi si mette a farli a mano con la formula diretta...si schioppa
comunque buon consiglio, a posteriori di aver compreso cosa si chiedesse realmente, quello di utilizzare e approssimare con il TLC
Scusatemi se sono insistente, o anche un pò ignorante in materia...Ho guardato il teorema del limite centrale ma non so ancora come applicarlo al problema in questione...Cioé come applico la sommatoria da 0 a 17 dei coefficienti binomiali, e di 0.32 e 0.68...Scusatemi ma su questo argomento sono tutt'altro che ferrato...Pardon
Se il tuo problema è trattare manualmente quei calcoli, il modo che DajeForte e retrocomputer hanno suggerito, è di applicare il cosidetto TLC (ne esistono più versioni).
Quello a cui ci si riferische con IL teorema... (almeno io conosco questo) utilizza l'approssimazione di una sequenza di v.a. indipendenti a quella normale o gaussiana (penso più familiare \(\mathcal{N}(0,1)\), o meglio utilizzando una sua trasformazione lineare). Per la teoria ti reindirizzo ad un buon libro.
In pratica sapendo che si ha una sequenza di $n$ v.a. indipendenti come quelle in esame, sono $87$ Bernoulli oppure $87$ binomiali $\text{Bin}(1,0.32)$ indipendenti si può calcolare la Binomiale originale, attraverso l'utilizzo della v.a. gaussiana in un singolo calcolo, utilizzando le tabelle stampante (con uno scarto di errore che si più diminuire a piacere), e qui nasce il suggerimento di DajeForte su come si faceva millemila anni fa (non più di 10 penso...).
Detto questo ti torna l'argomento?
La formulazione son due righe, ma è la teoria che ci sta sotto, che è un po' più corposa.
Quello a cui ci si riferische con IL teorema... (almeno io conosco questo) utilizza l'approssimazione di una sequenza di v.a. indipendenti a quella normale o gaussiana (penso più familiare \(\mathcal{N}(0,1)\), o meglio utilizzando una sua trasformazione lineare). Per la teoria ti reindirizzo ad un buon libro.
In pratica sapendo che si ha una sequenza di $n$ v.a. indipendenti come quelle in esame, sono $87$ Bernoulli oppure $87$ binomiali $\text{Bin}(1,0.32)$ indipendenti si può calcolare la Binomiale originale, attraverso l'utilizzo della v.a. gaussiana in un singolo calcolo, utilizzando le tabelle stampante (con uno scarto di errore che si più diminuire a piacere), e qui nasce il suggerimento di DajeForte su come si faceva millemila anni fa (non più di 10 penso...).
Detto questo ti torna l'argomento?
La formulazione son due righe, ma è la teoria che ci sta sotto, che è un po' più corposa.
Eh io avrei bisogno di capire formularmente come si calcola appunto quella sommatoria lì...Perché mi interessa solo capire com'è la formula pratica...La teoria totale non mi interessa al momento...
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