Probabilità numeri pari
Buongiorno a tutti,
avrei una curiosità + che un problema. Se dovessimo ragionare in termini di probabilità, qual è la probabilità che un numero naturale sia pari? Oppure la questione non può essere posta?
Sperando di nn aver sbagliato sezione del forum, buona giornata di nuovo a tutti
avrei una curiosità + che un problema. Se dovessimo ragionare in termini di probabilità, qual è la probabilità che un numero naturale sia pari? Oppure la questione non può essere posta?
Sperando di nn aver sbagliato sezione del forum, buona giornata di nuovo a tutti
Risposte
Vuoi dire la probabilità che, estraendo un numero a caso dall'insieme dei numeri naturali, questo sia pari?
In questo caso, la probabilità è tragicamente $1/2$.
In questo caso, la probabilità è tragicamente $1/2$.
"Cheguevilla":
Vuoi dire la probabilità che, estraendo un numero a caso dall'insieme dei numeri naturali, questo sia pari?
In questo caso, la probabilità è tragicamente $1/2$.
Intuitivamente anch'io avrei dato questa risposta.
Tuttavia poi ho pensato che i numeri naturali sono tanti quanti i numeri pari, per cui sono rimasto perplesso su quale fosse la risposta giusta.
Qual è la formalizzazione che hai utilizzato per dare questa risposta?
In fondo, i numeri pari sono tanti quanti quelli dispari...
"Cheguevilla":
In fondo, i numeri pari sono tanti quanti quelli dispari...
Sí ma sono anche tanti quanti l'unione di pari e dispari, ovvero della totalità dei naturali.
Se io ho un sacchetto contenente i primi 10 naturali la probabilità di estrarre un pari è certamente $1/2$ perché i pari sono esattamente la metà del totale. Analogo ragionamento con sacchetti contenenti i primi 100, 1000, 100000000...000 naturali. Ma quando prendo in considerazione tutti i naturali il ragionamento salta perché la totalità ha cardinalità uguale a quella dei numeri pari.
Può essere che la tua risposta sia corretta, solo che la tua motivazione non mi convince.
Per questo motivo mi chiedevo quale fosse un corretto modello probabilistico per un siffatto problema.
"Cozza Taddeo":
[quote="Cheguevilla"]In fondo, i numeri pari sono tanti quanti quelli dispari...
Per questo motivo mi chiedevo quale fosse un corretto modello probabilistico per un siffatto problema.[/quote]
E' la stessa domanda che mi facevo io... infatti il modello del sacchetto contenente i numeri naturali è valido finchè si considera una quantità finita di numeri naturali.
Il problema e' incosistente. Puoi vederlo in piu' modi. Uno e', per esempio, moltiplicare tutti i naturali pari per $2$. Quindi ogni pari e' stato mandato in un multiplo di $4$, e non ci sono state sovrapposizioni, dunque il numero di casi favorevoli e' lo stesso. Ma, seguendo il ragionamento che la probabilita' richiesta sia $1/2$, ora dovrebbe essere $1/4$, contraddizione. Questo e' piu' un paradosso , che una dimostrazione dell'inconsistenza.
Vediamo di formalizzare. Supponiamo che la probabilita' sia definita per opportuni sottoinsiemi di $NN$, tra cui vi siano i singleton dei suoi elementi; e che ad ogni insieme ${n}$ sia associata la stessa probabilita' $p$. Essendo i vari insiemi disgiunti, la probabilita' della loro unione (che dovrebbe essere $1$) e' uguale alla somma delle singole probabilita', che e' o $0$ o $\infty$.
Vediamo di formalizzare. Supponiamo che la probabilita' sia definita per opportuni sottoinsiemi di $NN$, tra cui vi siano i singleton dei suoi elementi; e che ad ogni insieme ${n}$ sia associata la stessa probabilita' $p$. Essendo i vari insiemi disgiunti, la probabilita' della loro unione (che dovrebbe essere $1$) e' uguale alla somma delle singole probabilita', che e' o $0$ o $\infty$.
"TomSawyer":
Il problema e' incosistente..
Scusa la mia ignoranza ma cosa intendi x problema inconsistente?
"TomSawyer":
Vediamo di formalizzare. Supponiamo che la probabilita' sia definita per opportuni sottoinsiemi di $NN$, tra cui vi siano i singleton dei suoi elementi; e che ad ogni insieme ${n}$ sia associata la stessa probabilita' $p$. Essendo i vari insiemi disgiunti, la probabilita' della loro unione (che dovrebbe essere $1$) e' uguale alla somma delle singole probabilita', che e' o $0$ o $\infty$.
Questa è una motivazione che mi convince.
Non ne vedo l'inconsistenza.
Dal momento che è possibile estrarre un numero casuale appartenente all'insieme dei naturali, questo può essere pari o dispari, pertanto avrà una probabilità p di essere pari ed una probabilità q di essere dispari.
Dal momento che è possibile estrarre un numero casuale appartenente all'insieme dei naturali, questo può essere pari o dispari, pertanto avrà una probabilità p di essere pari ed una probabilità q di essere dispari.
Secondo me una cosa ragionevole che si puo' dire è che non esiste una probabilità $P$ (nel senso conosciuto) 'definita' su un insieme infinito $X$ tale che $P(\{a\})=P(\{b\})$ per ogni $a,b in X$. E cio' per quello che ha detto TomSawyer.
Edito: condivido cio' che ha detto Sergio.
Edito: condivido cio' che ha detto Sergio.
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