Probabilità nella trasmissione di pixel
Nella trasmissione di un'immagine il colore di un pixel è descritto da un vettore di lunghezza 8 bit (ognuno dei quali assume il valore 0 oppure 1). Durante la decodifica dell’immagine, ogni bit può essere distorto con probabilità $p = 2 · 10^(−4)$, indipendentemente da uno all’altro.
a. Qual è la probabilità $alpha$ che un singolo pixel sia trasmesso correttamente?
b. Un’immagine è composta da 1306 × 728 pixel. Qual è il numero medio di pixel distorti nell’immagine?
c. Un’ulteriore stima per il numero di pixel distorti può essere ricavata utilizzando il Teorema del Limite Centrale.
Se l’immagine è composta da 1306 × 728 pixel, qual è la probabilità che vi siano più di 1500 pixel distorti?
Consigli? (Anche se mi servirebbe qualcosina in più... 
)
a. Qual è la probabilità $alpha$ che un singolo pixel sia trasmesso correttamente?
b. Un’immagine è composta da 1306 × 728 pixel. Qual è il numero medio di pixel distorti nell’immagine?
c. Un’ulteriore stima per il numero di pixel distorti può essere ricavata utilizzando il Teorema del Limite Centrale.
Se l’immagine è composta da 1306 × 728 pixel, qual è la probabilità che vi siano più di 1500 pixel distorti?
Consigli? (Anche se mi servirebbe qualcosina in più... )
Risposte
Per il punto a, mi sorge un dubbio: probabilità che SOLO un singolo pixel sia trasmesso correttamente?
O probabilità che ogni singolo pixel sia trasmesso correttamente?
Il punto b può essere visto come una V.A. ipergeometrica, o come una binomiale, vista la dimensione decisamente elevata dello spazio degli eventi. Pertanto la media si calcola come...
Sul terzo punto, puoi provare a fare qualche considerazione generica sul teorema.
Sull'ultimo punto, vale quanto detto per il secondo: si tratta di una ipergeometrica, o binomiale, che per valori dello spazio degli eventi particolarmente elevati tendono a coincidere.
Inoltre, per valori elevati dello spazio degli eventi, la variabile binomiale può essere approssimata con altre due note V.A.
O probabilità che ogni singolo pixel sia trasmesso correttamente?
Il punto b può essere visto come una V.A. ipergeometrica, o come una binomiale, vista la dimensione decisamente elevata dello spazio degli eventi. Pertanto la media si calcola come...
Sul terzo punto, puoi provare a fare qualche considerazione generica sul teorema.
Sull'ultimo punto, vale quanto detto per il secondo: si tratta di una ipergeometrica, o binomiale, che per valori dello spazio degli eventi particolarmente elevati tendono a coincidere.
Inoltre, per valori elevati dello spazio degli eventi, la variabile binomiale può essere approssimata con altre due note V.A.
Trasmissione corretta di un solo pixel.
Farei così:
$(1-p)^8 = (1-0,0002)^8 = 0,9984$
Poi la media la calcolerei così:
Numero medio di "pixel storti" = $1306*728*(1-0,9984)= 1521,2288$
Farei così:
$(1-p)^8 = (1-0,0002)^8 = 0,9984$
Poi la media la calcolerei così:
Numero medio di "pixel storti" = $1306*728*(1-0,9984)= 1521,2288$
Ciò che ho fatto risulta sbagliato. Per tale motivo ho postato.
Scrivo ciò che ho calcolato sperando in qualche anima pia che trovi l'errore (o di calcolo o di procedimento).
L'ultimo punto l'ho trovato con la normale così:
$mu=1521.23$
$N= 1306*728 = 950768$
$q=0.9984$
$p=0.0016$
$sigma = sqrt(N*p*q) = 38.97$
$X^("*") = (1500-1521.23)/38.97 = -0.54$ (dalla variabile standardizzata)
P(X>1500) quindi sommo l'area tra $-0.54$ e $0$ + $0.5$.
Dalle tavole: $0.5 + 0.2054 ~= 0.7$
Scrivo ciò che ho calcolato sperando in qualche anima pia che trovi l'errore (o di calcolo o di procedimento).
L'ultimo punto l'ho trovato con la normale così:
$mu=1521.23$
$N= 1306*728 = 950768$
$q=0.9984$
$p=0.0016$
$sigma = sqrt(N*p*q) = 38.97$
$X^("*") = (1500-1521.23)/38.97 = -0.54$ (dalla variabile standardizzata)
P(X>1500) quindi sommo l'area tra $-0.54$ e $0$ + $0.5$.
Dalle tavole: $0.5 + 0.2054 ~= 0.7$
Trasmissione corretta di un solo pixel.No, si risolve con la binomiale:
Farei così:
$(1-p)^8=(1-0,0002)^8=0,9984
$P(X=1)=((8),(1))0.0002*0.9998^7=0,001598$
La media si calcola come $mu=n*p=1306*728*0,001598$
Il resto lo vedo con più calma quando avrò meno sonno...
Allora
se indichiamo con $p$ la probabilità che un singolo bit sia ricevuto errato indipendentemente dagli altri bit [questo però non sempre è vero in pratica…], la probabilità che una parola di 8 bit sia ricevuta correttamente è data da…
$P_(ok)=(1-p)^8$ (1)
… e pertanto il risultato ottenuto da ‘Giova’ è esatto. Indicando con $P_(ko)=1-P_(ok)$ la probabilità di ricevere una parola di 8 bit errata, la probabilità di avere $k$ parole errate su $n$ ricevute è…
$P_(k,n)= ((n),(k))*P_(ko)^k*P_(ok)^(n-k)$ (2)
Per definizione il valore aspettato di parole errate ricevute su $n$ trasmesse è…
$E[k]= sum_(k=0)^(n) ((n),(k))*k*P_(ko)^k*P_(ok)^(n-k)$ (3)
Non resta quindi che porre nella (1) $p=2*10^(-4)$, poi nella (2) e (3) $n=1306x728$ e poi… buon lavoro!!!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
se indichiamo con $p$ la probabilità che un singolo bit sia ricevuto errato indipendentemente dagli altri bit [questo però non sempre è vero in pratica…], la probabilità che una parola di 8 bit sia ricevuta correttamente è data da…
$P_(ok)=(1-p)^8$ (1)
… e pertanto il risultato ottenuto da ‘Giova’ è esatto. Indicando con $P_(ko)=1-P_(ok)$ la probabilità di ricevere una parola di 8 bit errata, la probabilità di avere $k$ parole errate su $n$ ricevute è…
$P_(k,n)= ((n),(k))*P_(ko)^k*P_(ok)^(n-k)$ (2)
Per definizione il valore aspettato di parole errate ricevute su $n$ trasmesse è…
$E[k]= sum_(k=0)^(n) ((n),(k))*k*P_(ko)^k*P_(ok)^(n-k)$ (3)
Non resta quindi che porre nella (1) $p=2*10^(-4)$, poi nella (2) e (3) $n=1306x728$ e poi… buon lavoro!!!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grazie CheGueVilla e Lupo Grigio per il supporto!
I risultati che mi da il testo sono:
Numero medio di pixel distorti: $ 1520.16$
Numero totale di pixel distorti $ ~= 0.698 $
Mi chiedo perché non si possa utilizzare l'approssimazione normale visto la dimensione di $N$.
Cmq i risultati di noi tutti sono diversi da quelli del testo. MannaJa!!!
I risultati che mi da il testo sono:
Numero medio di pixel distorti: $ 1520.16$
Numero totale di pixel distorti $ ~= 0.698 $
Mi chiedo perché non si possa utilizzare l'approssimazione normale visto la dimensione di $N$.
Cmq i risultati di noi tutti sono diversi da quelli del testo. MannaJa!!!
Dunque, 'a parte gli scherzi’, se $x$ è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale ed è $n*p$>>$1$, allora la variabile aleatoria…
$z=(x-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)$ (1)
… approssimativamente ha distribuzione normale. Nel nostro caso è $p=P_(ko)= 1.5988 10^(-3)$ ed $n= 1306 x 728= 950768$. L’ipotesi $n*p$>>$1$ è quindi valida e di conseguenza il numero aspettato di pixel ‘corrotti’ è…
$E[n_(ko)]= P_(ko)*n= 1520.16$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$z=(x-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)$ (1)
… approssimativamente ha distribuzione normale. Nel nostro caso è $p=P_(ko)= 1.5988 10^(-3)$ ed $n= 1306 x 728= 950768$. L’ipotesi $n*p$>>$1$ è quindi valida e di conseguenza il numero aspettato di pixel ‘corrotti’ è…
$E[n_(ko)]= P_(ko)*n= 1520.16$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grazie Lupo Grigio.
Però stavo guardando ora che le soluzioni che avevo trovato non si "allontanano" molto da quelle del prof...
Forse potrebbero pure andare bene
Scrivendo $~=$ ci si para un po' il
Però stavo guardando ora che le soluzioni che avevo trovato non si "allontanano" molto da quelle del prof...
Forse potrebbero pure andare bene
Scrivendo $~=$ ci si para un po' il
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