Probabilità nella formula 1

[adriano419]

Al Gran Premio di Formula 1, l'assegnazione della griglia di partenza di 12 auto da corsa è attribuita in maniera del tutto casuale.
La gara si svolge in maniera del tutto indipendente dalla bravura del pilota e dalle caratteristiche meccaniche dei bolidi stessi cosicché l'ordine di arrivo è anch'esso del tutto casuale.
- Qual è la probabilità che tutti i piloti arrivino con lo stesso numero avuto nella griglia di partenza?
- Qual è la probabilità che almeno un pilota arrivi con lo stesso numero avuto nella griglia di partenza?

Ho 12 numeri nella griglia e 12 auto

Griglia: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

Auto: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

Devo calcolare:
- $ P[X=12] $
- $ P[X>=1] $

Nel primo caso devo calcolare la probabilità che arrivino tutte con lo stesso numero avuto nella griglia e, perciò, ho una possibilità su 12 per la prima auto, una su 11 per la seconda, una su 10 per la terza e così via.

In sintesi ho una probabilità pari a $ 1/(12!) $

Nel secondo caso, devo calcolare la probabilità che almeno un'auto arrivi con lo stesso numero avuto nella griglia che è complementare all'evento che tutte le auto arrivino tutte con numeri diversi da quelli avuti nella griglia.
Per il calcolo di quest'ultimo, ho applicato il rapporto tra dismutazioni e permutazioni, ovvero:
$ (!N)/(N!) $ dove $ !N=N!sum_(i=0)^N (-1)^i/(i!) $

$ (!N)/(N!)= [1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!) - 1/(5!) + 1/(6!) - 1/(7!) + 1/(8!) - 1/(9!) + 1/(10!) - 1/(11!) + 1/(12!)] = 16019531/43545600 ~~ 1/e $

Quindi:
$ P[X>=1] = 1-16019531/43545600 ~~ 0,632121 $

Questo procedimento è corretto? Ne conoscete uno più semplice?

Grazie mille

[Lo_zio_Tom]

"adriano419":

Questo procedimento è corretto? Ne conoscete uno più semplice?

Grazie mille

Sì e sì.

Basta ricordare lo sviluppo in serie di $e^x$; nel tuo caso è $sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k/(k!)=e^(-1)$

E con $N>5$ si può tranquillamente considerare $N=oo$