Probabilità nel lancio di due monete in k lanci (3)

[DLz]

Salve a tutti,
come da titolo, ho alcuni dubbi su 3 quesiti di probabilità. Premesse: per ora non vorrei tenere in conto la teoria "della fallacia dello scommettitore", i lanci, dunque, si devono ancora eseguire tutti e le monete non sono truccate.
Ecco i miei quesiti:

3)Ho dei dubbi su questo: https://www.matematicamente.it/esercizi ... ue-monete/

a) Perché la probabilità che la prima moneta ottenga testa per la prima volta, al k-esimo lancio è \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^k \) e non solo \(\displaystyle \left ( \frac{1}{2} \right )^k \) ? Se ancora non abbiamo effettuato alcun lancio, la probabilità di avere testa esattamente all'ultimo lancio dovrebbe essere \(\displaystyle \left ( \frac{1}{2} \right )^k \), mentre se avessimo già effettuato gli altri k-1 lanci sarebbe \(\displaystyle \frac{1}{2} \) giusto?

b) Perché, quando va a svolgere i calcoli alla fine, ho \(\displaystyle 2\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{k-1} \) ? Da dove viene fuori \(\displaystyle \left ( \frac{1}{2} \right )^{k-1} \) ?

c) Se ho ben capito, non viene inclusa la probabilità dell'evento <> perché se la includessi non avrei più la probabilità che servano k lanci ma la probabilità che ne servano k-1, giusto?

Grazie

[Lo_zio_Tom]

Dubito che ci sia un modo più chiaro di spiegarlo....ma lo riassumo

Lanciando più volte 2 monete, calcolare la probabilità che ci vogliano k lanci per ottenere almeno una testa su entambe le monete

Caso 1) : Entrambe le monete mostrano testa solo al k-esimo lancio (quindi nei $(k-1)$ lanci entrambe hanno avuto solo croce)

$(1/4)^(k-1)1/4$

Caso 2) la prima moneta ha avuto almeno una testa nei (k-1) lanci precedenti mentre la seconda moneta ha avuto la prima testa solo al k-esimo lancio

$[1-(1/2)^(k-1)](1/2)^(k-1)1/2$

Caso 3) analogo al caso 2 ma con le monete invertite

Probabilità richiesta: somma delle 3 probabilità precedenti

$(1/4)^k+2*1/2(1/2)^(k-1)[1-(1/2)^(k-1)]=(1/4)^k+(1/2)^(k-1)-(1/4)^(k-1)$

spero che ora sia chiaro

potresti anche provare a calcolare il numero medio di lanci necessari: $8/3$, ovvero circa 3

[DLz]

Grazie mille.