[PROBABILITA'] Mesi e persone

[Quinzio]

Date 20 persone, qual è la probabilità che tra i 12 mesi dell'anno (equiprobabili) ce ne siano 4 che contengono esattamente 2 compleanni, e 4 contenenti esattamente 3 compleanni ? [1.0604 10^-3]

Innanzitutto non mi è chiaro se i 4 mesi in cui 2 persone compiono gli anni e gli (altri ?) 4 mesi delle 3 persone devono essere diversi o possono essere uguali.
Ad es. siano le persone A,B,C, ecc e i mesi 1, 2, 3, ecc.
1 -> A
2 -> B
3 -> nessuno
4 -> nessuno
5 -> C, D
6 -> F, G, H
7 -> I
ecc
Potrei dire che la condizione è soddisfatta perche i mesi 1 2 3 4 contengono A B, i mesi 3 4 5 7 contengono C D I.
Oppure funziona che ad es. il mese 2 deve essere esclusivo di un gruppo, quello di A B e non può essere utilizzato anche dal gruppo C D I ?

Come soluzione avevo pensato che i modi di assegnare le 20 persone ai mesi equivalgono ad assegnare a 12 variabili dei valori non negativi in modo che la somma sia 20. Cioè
$x_1+x_2+...+x_(12)=20$
I modi sono $((20+12-1),(12-1))$

Poi, se ogni mese viene assegnato in esclusiva ad un gruppo (la seconda ipotesi di prima), allora i modi di assegnare 2 persone a 4 mesi sono $((2+4-1),(4-1))$.
I modi di assegnare 3 persone a 4 mesi sono $((3+4-1),(4-1))$
Infine i modi di assegnare le restanti 15 persone ai restanti 4 mesi sono $((15+4-1),(4-1))$.

Quindi $(((2+4-1),(4-1))((3+4-1),(4-1))((15+4-1),(4-1)))/(((20+12-1),(12-1))) = 1.9*10^(-3)$.

che non è il risultato del libro.

Per quanto riguarda l'altra possibilità, cioè la possibilità di condividere qualche mese "vuoto" tra i gruppi mi sembra inaffrontabile dal punto di vista dei calcoli.

Voi come lo fareste ?

[kobeilprofeta]

Io credo che un esempio sia:
1: a,b
2: c,d
3: -
4: e,f,g
5: h,i,l
6: m,n
7 -
8 -
9: o,p,q
10: r,s,t
11: u,v
12: -

[Quinzio]

Ah caspita !!!
Allora quel "contiene" quando dicono "4 mesi che contengono esattamente 2 compleanni" significa che ogni mese contiene 2 compleanni e non il totale dei 4 mesi che contiene 2 compleanni.
Già, 4x3+4x2=20.

Adesso provo a fare i conti.

[Quinzio]

Continuo a non trovare la soluzione...
Prendiamo ad esempio la configurazione di kobe:
1: a,b
2: c,d
3: -
4: e,f,g
5: h,i,l
6: m,n
7 -
8 -
9: o,p,q
10: r,s,t
11: u,v
12: -



Ovviamente ci sono $12^(20)$ modi in cui 20 persone compiono gli anni nei 12 mesi.
Scelgo il mese della prima persona A: ho 12 modi di farlo.
Scelgo il mese di C (sempre nell'esempio di kobe): ho 11 mesi da scegliere.
Così via scelgo il mese di A C E H M O R U : $(12!)/(4!)$
Poi scelgo il mese del secondo "passaggio" di persone: B D F I N P S V.
Per B 8 scelte (uno di mesi di A C E H M O R U), per D 7 scelte, ecc: $8!$.
Terzo passaggio di persone: G L Q T : $8*7*6*5 = (8!) / (4!)$

Ricapitolando: $((12!)/(4!)8!(8!)/(4!))/(12^(20))=3.53*10^(-7)$. Neanche questa va bene.

[Quinzio]

Se qualcuno ha la soluzione la metta pure, io passo oltre (tempus fugit).

[adaBTTLS1]

il numero di partizioni di un insieme di 20 elementi in 8 parti di cui quattro di due elementi e quattro di tre elementi è
$(20!)/((2!)^4 * (3!)^4 *4!*4!)$
il numero delle funzioni iniettive da un insieme di 8 elementi ad un insieme di 12 elementi è $(12)_8 =(12!)/(4!)$
il numero di funzioni da un insieme di 20 elementi ad un insieme di 12 elementi è $12^20$

la soluzione cercata è:
$[(20!)/((2!)^4 * (3!)^4 *4!*4!)*(12!)/(4!)]/12^20= (20!*12!)/(2^4*3^4*24^3*12^20)$
una normale calcolatrice scientifica mi ha fornito questo risultato: 0,00106042

ciao.

[Quinzio]

Ok, la guardo con calma, ma direi di avere capito.
Il problema è capire esattemtente quando applicare certe formule e quando no.
Grazie.