Probabilità estrazione da urne
Salve ragazzi,
mi sono imbattuto in questo esercizio di probabilità:
ho due urne U1, U2 che contengono rispettivamente p1% e p2% palline bianche. Lancio una moneta non truccata per scegliere da quale urna estrarre le palline: se esce testa estraggo da U1, altrimenti da U2.
Considero i seguenti processi di estrazione:
a) lancio la moneta, estraggo con reimmissione una pallina dall'urna selezionata. Rilancio la moneta e ripeto l'estrazione con reimmissione dall'urna selezionata.
b) lancio la moneta e procedo con 2 estrazioni con reimmissione dall'urna selezionata.
La probabilità di estrarre due palline bianche a me risulta uguale in entrambi i casi a) e b). Infatti, dato che le estrazioni sono indipendenti si ha:
$$P(B_1\cap B_2)=P(B_1)\cdot P(B_2)$$
ed inoltre $P(B_1)=P(B_2)$
Per il teorema sulla probabilità totale posso scrivere:
$$P(B_i)=P(B_i|U_1)\cdot P(U_1)+P(B_i|U_2)\cdot P(U_2)=p_1\cdot \frac{1}{2}+p_2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(p_1+p_2)$$
Di conseguenza si ha:
$$P(B_1\cup B_2)=\left [\frac{1}{2}(p_1+p_2)\right ]^2=\frac{1}{4}(p_1+p_2)^2$$
Lo stesso identico ragionamento posso fare nel caso b). Correggetemi se sbaglio
mi sono imbattuto in questo esercizio di probabilità:
ho due urne U1, U2 che contengono rispettivamente p1% e p2% palline bianche. Lancio una moneta non truccata per scegliere da quale urna estrarre le palline: se esce testa estraggo da U1, altrimenti da U2.
Considero i seguenti processi di estrazione:
a) lancio la moneta, estraggo con reimmissione una pallina dall'urna selezionata. Rilancio la moneta e ripeto l'estrazione con reimmissione dall'urna selezionata.
b) lancio la moneta e procedo con 2 estrazioni con reimmissione dall'urna selezionata.
La probabilità di estrarre due palline bianche a me risulta uguale in entrambi i casi a) e b). Infatti, dato che le estrazioni sono indipendenti si ha:
$$P(B_1\cap B_2)=P(B_1)\cdot P(B_2)$$
ed inoltre $P(B_1)=P(B_2)$
Per il teorema sulla probabilità totale posso scrivere:
$$P(B_i)=P(B_i|U_1)\cdot P(U_1)+P(B_i|U_2)\cdot P(U_2)=p_1\cdot \frac{1}{2}+p_2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(p_1+p_2)$$
Di conseguenza si ha:
$$P(B_1\cup B_2)=\left [\frac{1}{2}(p_1+p_2)\right ]^2=\frac{1}{4}(p_1+p_2)^2$$
Lo stesso identico ragionamento posso fare nel caso b). Correggetemi se sbaglio
Risposte
"mbistato":
Correggetemi se sbaglio
ti correggo....il caso a), seppure con qualche errore[nota]l'ultima probabilità è un'intersezione, non Unione[/nota] è ok ma nel caso b), lancio la moneta una sola volta ed estraggo con reimmissione 2 palline dall'urna selezionata ottengo che
$P(BB)=1/2 p_1^2+1/2 p_2^2=1/2(p_1^2+p_2^2)$
[ot]bentornato! che ci fai ancora da queste parti??[/ot]
"tommik":
ti correggo....il caso a), seppure con qualche errore[nota]l'ultima probabilità è un'intersezione, non Unione[/nota] è ok ma nel caso b), lancio la moneta una sola volta ed estraggo con reimmissione 2 palline dall'urna selezionata ottengo che
$P(BB)=1/2 p_1^2+1/2 p_2^2=1/2(p_1^2+p_2^2)$
Grazie tommik, sempre impeccabile!
"tommik":
[ot]bentornato! che ci fai ancora da queste parti??[/ot]
Grazie! Sto aiutando una mia amica con l'esame di statistica
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