[probabilità] esercizio estrazione urne.

[lordcoste]

Salve a tutti, ho delle difficoltà con un esercizio di probabilità. So per certo che la mia soluzione è sbagliata (considerata sbagliata dal docente) ma non ho ben capito il mio errore.

Vi lascio il testo del problema e la mia soluzione, sperando che qualcuno riesca a chiarirmi un po' le idee.

Si considerino quattro urne contenenti le seguenti palline:
A: 10 nere, 3 bianche
B: 5 nere, 12 bianche
C: 3 blu, 7 rosse
D: 3 blu, 6 rosse

Si sceglie in modo casuale (uguale probabilità) una delle due urne A o B (non si sa quale sia A e quale sia B), si estraggono 3 palline, se la maggioranza è nera si estrae una pallina dall'urna C, altrimenti si estrae una pallina dall'urna D.
1- Qual è la probabilità che la pallina estratta al termine della procedura sia rossa?
2- (tralasciamo per ora questo punto, almeno finchè non capisco bene il primo) Sapendo che la pallina estratta è blu, qual è l'urna che con maggiore probabilità è stata scelta per la prima estrazione, A o B?

Mio svolgimento:
Si sceglie in modo casuale (uguale probabilità) una delle due urne A o B -> P(A)=0.5 e P(B)=0.5
La maggioranza delle palline estratte sia nera (su 3 palline) -> almeno 2 palline nere, quindi 2 su 3 o 3 su 3.

Probabilità maggioranza palline nere dall'urna A:
$P(N|A)=(((10),(2)))/(((13),(3)))+(((10),(3)))/(((13),(3)))=0.58$ (Qui secondo il professore dovrebbe già esserci l'errore, e di conseguenza anche nei passaggi successivi dato che ho usato sempre la stessa formula)

$P(N|B)=(((5),(2)))/(((17),(3)))+(((5),(3)))/(((17),(3)))=0.029$

$P(N)=P(N|A)P(A)+P(N|B)P(B)=0.3$

$P(C)=P(N)=0.3$

$P(D)=1-P(N)=0.7$

$P(R|C)=(((7),(1)))/(((10),(1)))=0.7$
$P(R|D)=(((6),(1)))/(((9),(1)))=0.7$

Probabilità che la pallina finale sia rossa:
$P(R)=P(R|C)P(C)+P(R|D)P(D)=0.7*0.3 + 0.7*0.7=0.7 -> 70%$

Questo è quello che ho fatto io, il ragionamento dovrebbe essere giusto, ma non le formule usate per calcolare P(N|A) e P(N|B).

[poncelet]

"lordcoste":Probabilità maggioranza palline nere dall'urna A:
$P(N|A)=(((10),(2)))/(((13),(3)))+(((10),(3)))/(((13),(3)))=0.58$ (Qui secondo il professore dovrebbe già esserci l'errore, e di conseguenza anche nei passaggi successivi dato che ho usato sempre la stessa formula)

Presumo che l'estrazione sia senza reimmissione quindi userei l'ipergeometrica. In particolare per calcolare la probabilità di pescare almeno 2 palline nere (la maggioranza) dall'urna $A$ io calcolerei:

$\frac{((10),(2))((3),(1))}{((13),(3))}+\frac{((10),(3))((3),(0))}{((13),(3))}$

Il resto del procedimento mi sembra corretto. A me verrebbe come risultato $P(R)=0,676$.

[lordcoste]

Grazie, quindi nel caso si estraggano più palline in blocco devo usare la ipergeometrica:

$P(x)=(((r),(x))((N-r),(n-x)))/(((N),(n)))$

Invece nel caso di $P(R|C)$ dove estraggo una sola pallina posso usare:
$P(R|C)=(((7),(1)))/(((10),(1)))$ (probabilità di estrarre una pallina rossa da C)

Giusto?

Grazie ancora per l'aiuto

[poncelet]

Giusto. In realtà se devi estrarre una sola pallina l'ipergeomterica è superflua, basta dividere i casi favorevoli per i casi possibili.

[lordcoste]

Giusto. In realtà se devi estrarre una sola pallina l'ipergeomterica è superflua, basta dividere i casi favorevoli per i casi possibili.

Vero, in quel modo è ancora più semplice, evito un sacco di calcoli

Per quanto riguarda il secondo punto:
Sapendo che la pallina estratta è blu, qual è l'urna che con maggiore probabilità è stata scelta per la prima estrazione, A o B?

Qui non chiede di calcolare la probabilità, perciò io ho fatto una sorta di ragionamento:
P(Blu|D) > P(Blu|C) (in quanto a parità di palline Blu l'urna D ha meno palline totali).

Quindi se estraggo come ultima pallina una Blu è più probabile che stia usando l'urna D.

Se viene usata l'urna D vuol dire che nella prima estrazione abbiamo ottenuto una maggioranza di palline Bianche.

Infine P(Bianche|A) < P(Bianche|B), quindi l'urna iniziale più probabile, se la pallina finale estratta è Blu, è la B.

Detto ciò, se invece volessi calcolare il tutto come dovrei procedere?

$P(Blu|C)=3/10$
$P(Blu|D)=3/9$

$P(D)=1-P(Mag. Nere)$

Poi?:roll:

Dovrei forse usare Bayes?

[lordcoste]

piccolo up per il punto 2.
Saluti